《数列教案（通用20篇）》

作为一位杰出的教职工，常常要根据教学需要编写教案，借助教案可以提高教学质量，收到预期的教学效果。那么问题来了，教案应该怎么写？

数列求和教学设计 1

《数列求和》教学设计

铜仁一中 吴 瑜

【教学目标】 1、知识与技能

掌握几种解决数列求和问题的基本思路、方法和适用范围，进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。2、过程与方法

经历数列几种求和方法的探究过程、深化过程和应用过程，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。3、情感与价值观

通过数列几种求和法的归纳应用，激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。【教学重点】

本节课的教学重点为倒序相加、裂项相消、分组求和、错位相减求和的方法和形式，能将一些特殊数列的求和问题转化上述相应模型的求和问题。【教学难点】

本节课的教学难点为建构几种求和方法模型的思维过程，不同的数列采用不同的方法，运用转化与化归的思想分析问题和解决问题。【课堂设计】

一、知识回顾

1、等差数列通项公式ana1(n1)d，前n项和公式Snn(a1an)

2na(1q)1n1(q1)

2、等比数列通项公式ana1q，前n项和公式Sn1q

二、合作探究

1、倒序相加法：

例

1、求和：snsin21sin22sin23sin289 设计意图：应用倒序相加并感受此种方法的优越性——简洁美、对称美。

2、裂项相消法： 例

2、求数列 1111，,, 的前n项和。122334n(n1)一般化：1111()

n(nk)knnk设计意图：体验通分和裂项这对运算的互逆关系以及相消过程的简洁美、对称美。【变式1】已知数列{an}的通项公式为an2n1,求数列

1的前n项和。

anan1【变式2】求和：sn

3、分组求和法：

1111 1447710(3n2)(3n1)例

3、求和：sn123456(2n1)2n 【变式1】求和：sn

14、错位相减法：

例

4、求和：sn12222323n2n

三、归纳小结 数列求和常用的方法：

1、倒序相加法：数列an中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，求和时可把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和。

2、裂项相消法：设法将数列an的每一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后正负相消，进而求出数列的前n项和。

3、分组求和法：an，bn是等差数列或等比数列，求数列anbn的前n项和。

4、错位相减法：an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和。思考题：

1.求数列1,12,122,,122222n1111135(2n1)n 2482前n项的和。

2.求和：sn10029939829722212

数列教案 2

（1）正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列；

（2）了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；

（3）掌握排列数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的排列数；

（4）会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

（5）通过对排列应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，以培养学生严谨的学习态度。

教学建议

一、知识结构

二、重点难点分析

本小节的重点是排列的定义、排列数及排列数的公式，并运用这个公式去解决有关排列数的应用问题．难点是导出排列数的公式和解有关排列的应用题．突破重点、难点的关键是对加法原理和乘法原理的掌握和运用，并将这两个原理的基本思想方法贯穿在解决排列应用问题当中．

从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中任取m个元素的一个排列．因此，两个相同排列，当且仅当他们的元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同．排列数是指从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素的所有不同排列的种数，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能计算相应的排列数．排列与排列数是两个概念，前者是具有m个元素的排列，后者是这种排列的不同种数．从集合的角度看，从n个元素的有限集中取出m个组成的有序集，相当于一个排列，而这种有序集的个数，就是相应的排列数．

公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解．要重点分析好的推导．

排列的应用题是本节教材的难点，通过本节例题的分析，应注意培养学生解决应用问题的能力．

在分析应用题的解法时，教材上先画出框图，然后分析逐次填入时的种数，这样解释比较直观，教学上要充分利用，要求学生作题时也应尽量采用．

在教学排列应用题时，开始应要求学生写解法要有简要的文字说明，防止单纯的只写一个排列数，这样可以培养学生的分析问题的能力，在基本掌握之后，可以逐渐地不作这方面的要求．

三、教法建议

①在讲解排列数的概念时，要注意区分“排列数”与“一个排列”这两个概念．一个排列是指“从n个不同元素中，任取出m个元素，按照一定的顺序摆成一排”，它不是一个数，而是具体的一件事；排列数是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，它是一个数．例如，从3个元素a，b，c中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一排，有如下几种：

ab，ac，ba，bc，ca，cb，

其中每一种都叫一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，符号表示排列数．

②排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”．

从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列．

在定义中“一定顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别．

在排列的定义中，如果有的书上叫选排列，如果，此时叫全排列．

要特别注意，不加特殊说明，本章不研究重复排列问题．

③关于排列数公式的推导的教学．公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解．课本上用的是不完全归纳法，先推导，，…，再推广到，这样由特殊到一般，由具体到抽象的讲法，学生是不难理解的．

导出公式后要分析这个公式的构成特点，以便帮助学生正确地记忆公式，防止学生在“n”、“m”比较复杂的时候把公式写错．这个公式的特点可见课本第229页的一段话：“其中，公式右边第一个因数是n，后面每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是，共m个因数相乘．”这实际是讲三个特点：第一个因数是什么？最后一个因数是什么？一共有多少个连续的自然数相乘．

公式是在引出全排列数公式后，将排列数公式变形后得到的公式．对这个公式指出两点：（1）在一般情况下，要计算具体的排列数的值，常用前一个公式，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证，要用到这个公式，教材中第230页例2就是用这个公式证明的问题；（2）为使这个公式在时也能成立，规定，如同时一样，是一种规定，因此，不能按阶乘数的原意作解释．

④建议应充分利用树形图对问题进行分析，这样比较直观，便于理解．

⑤学生在开始做排列应用题的作业时，应要求他们写出解法的简要说明，而不能只列出算式、得出答数，这样有利于学生得更加扎实．随着学生解题熟练程度的提高，可以逐步降低这种要求．

教学设计示例

排列

教学目标

（1）正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列；

（2）了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；

（3）会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

教学重点难点

重点是排列的定义、排列数并运用这个公式去解决有关排列数的应用问题。

难点是解有关排列的应用题。

教学过程设计

一、复习引入

上节课我们学习了两个基本原理，请大家完成以下两题的练习（用投影仪出示）：

1．书架上层放着50本不同的社会科学书，下层放着40本不同的自然科学的书．

（1）从中任取1本，有多少种取法？

（2）从中任取社会科学书与自然科学书各1本，有多少种不同的取法？

2．某农场为了考察三个外地优良品种A，B，C，计划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的土地上分别进行引种试验，问共需安排多少个试验小区？

找一同学谈解答并说明怎样思考的的过程

第1（1）小题从书架上任取1本书，有两类办法，第一类办法是从上层取社会科学书，可以从50本中任取1本，有50种方法；第二类办法是从下层取自然科学书，可以从40本中任取1本，有40种方法．根据加法原理，得到不同的取法种数是50+40=90．第（2）小题从书架上取社会科学、自然科学书各1本（共取出2本），可以分两个步骤完成：第一步取一本社会科学书，第二步取一本自然科学书，根据乘法原理，得到不同的取法种数是：50×40=2000．

第2题说，共有A，B，C三个优良品种，而每个品种在甲类型土地上实验有三个小区，在乙类型的土地上有三个小区……所以共需3×5=15个实验小区．

二、讲授新课

学习了两个基本原理之后，现在我们继续学习排列问题，这是我们本节讨论的重点．先从实例入手：

1．北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同飞机票？

由学生设计好方案并回答．

（1）用加法原理设计方案．

首先确定起点站，如果北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制2种飞机票，若起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制2种飞机票；若起点站是广州，终点站是北京或上海，又需要2种飞机票，共需要2+2+2=6种飞机票．

（2）用乘法原理设计方案．

首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有3种方法．即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点站只能在其余两个站去选．那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有3×2=6种．

根据以上分析由学生（板演）写出所有种飞机票

再看一个实例．

在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？

找学生谈自己对这个问题的想法．

事实上，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，所以不同颜色的同时升起可以表示出来的信号种数，也就是红、黄、绿这三面旗子的所有不同顺序的排法总数．

首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；

其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．

根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3×2×1=6（种）．

根据学生的分析，由另外的同学（板演）写出三面旗子同时升起表示信号的所有情况．（包括每个位置情况）

第三个实例，让全体学生都参加设计，把所有情况（包括每个位置情况）写出来．

由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？写出这些所有的三位数．

根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有4×3×2=24（个）．

请板演的学生谈谈怎样想的？

第一步，先确定百位上的数字．在1，2，3，4这四个数字中任取一个，有4种取法．

第二步，确定十位上的数字．当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字去取，有3种方法．

第三步，确定个位上的数字．当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字中去取，有2种方法．

根据乘法原理，所以共有4×3×2=24种．

下面由教师提问，学生回答下列问题

（1）以上我们讨论了三个实例，这三个问题有什么共同的地方？

都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象．

（2）取出的这些研究对象又做些什么？

实质上按着顺序排成一排，交换不同的位置就是不同的情况．

（3）请大家看书，第×页、第×行．我们把被取的对象叫做双元素，如上面问题中的民航站、旗子、数字都是元素．

上面第一个问题就是从3个不同的元素中，任取2个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，后来又写出所有排法．

第二个问题，就是从3个不同元素中，取出3个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少排法和写出所有排法．

第三个问题呢？

从4个不同的元素中，任取3个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，并写出所有的排法．

给出排列定义

请看课本，第×页，第×行．一般地说，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况），按着一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

下面由教师提问，学生回答下列问题

（1）按着这个定义，结合上面的问题，请同学们谈谈什么是相同的排列？什么是不同的排列？

从排列的定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序（即元素所在的位置）也必须相同．两个条件中，只要有一个条件不符合，就是不同的排列．

如第一个问题中，北京—广州，上海—广州是两个排列，第三个问题中，213与423也是两个排列．

再如第一个问题中，北京—广州，广州—北京；第二个问题中，红黄绿与红绿黄；第三个问题中231和213虽然元素完全相同，但排列顺序不同，也是两个排列．

（2）还需要搞清楚一个问题，“一个排列”是不是一个数？

生：“一个排列”不应当是一个数，而应当指一件具体的事．如飞机票“北京—广州”是一个排列，“红黄绿”是一种信号，也是一个排列．如果问飞机票有多少种？能表示出多少种信号．只问种数，不用把所有情况罗列出来，才是一个数．前面提到的第三个问题，实质上也是这样的．

三、课堂练习

大家思考，下面的排列问题怎样解？

有四张卡片，每张分别写着数码1，2，3，4．有四个空箱，分别写着号码1，2，3，4．把卡片放到空箱内，每箱必须并且只能放一张，而且卡片数码与箱子号码必须不一致，问有多少种放法？（用投影仪示出）

分析：这是从四张卡片中取出4张，分别放在四个位置上，只要交换卡片位置，就是不同的放法，是个附有条件的排列问题．

解法是：第一步把数码卡片四张中2，3，4三张任选一个放在第1空箱．

第二步从余下的三张卡片中任选符合条件的一张放在第2空箱．

第三步从余下的两张卡片中任选符合条件的一张放在第3空箱．

第四步把最后符合条件的一张放在第四空箱．具体排法，用下面图表表示：

所以，共有9种放法．

数列求和的教学设计 3

《数列求和》教学设计

阳高一中 顾海燕

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）初步掌握一些特殊数列求其前n项和的常用方法．

（2）通过把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和问题，培养学生观察、分析问题的能力，转化的数学思想以及数学运算能力。

2、过程与方法

培养学生分析解决问题的能力，归纳总结能力，以及数学运算的能力。

3、情感，态度，价值观

通过教学，让学生认识到事物是普遍联系，发展变化的。

二、教学重点：

把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和。

三、教学难点：

寻找适当的变换方法，达到化归的目的四、教学过程设计 复习引入：（1）1+2+3+……+100=(2)1+3+5+……+2n-1=(3)1+2+4+……+2=

设计意图：

让学生回顾旧知，由此导入新课。

[教师过渡]：今天我们学习《数列求和》第二课时，课标要求和学习内容如下：(多媒体课件展示)导入新课：

[情境创设](课件展示): 从近十年的高考来看，通项公式、前n项和公式仍是考查的重点，下面就通过一些典型例题来谈谈数列求和的基本方法和技巧： 一。公式法求和

利用常用求和公式求和是数列求和的最基本也是最重要的方法：

常见的求和公式有：等差数列、等比数列求和公式、自然数的和、自然数的平方和、自然数的立方和公式等。

[例1] 已知log3x123n，求xxxx的前n项和。log2311log3xlog32x

log232解：由log3x 由等比数列求和公式得 ：

11(1)nnx(1x)22＝1－1Snxx2x3xn ＝

12n1x12二．错位相减法求和

（利用常用公式）如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项之积组成，那么此数列可采用错位相减法求和。

2462n,2,3,,n,前n项的和。22222n1解：由题可知，{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之积。222462n设Sn23n……………① 222212462nSn234n1……………②（设制错位）222221222222n① –②得：(1)Sn234nn1（错位相减）

222222212n2n1n1, 22n2 ∴Sn4n1.2[例2]求数列三．倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).[例3]求和：3Cn解：令Sn12n.6Cn3nCn0123n0Cn3Cn6Cn9Cn3nCn.将上式中各项的次序反过来，得：

nn1n210Sn3nCn3(n1)Cn3(n2)Cn3Cn0Cn.把上述两式左右两边分别相加，并利用Cnknk，得： Cn012n1n2Sn3n(CnCnCnCnCn)3n2n.所以，Sn3n2n1.四、裂项相消法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。常见的裂项公式如下：

sin1（1）anf(n1)f(n)（2）tan(n1)tann cosncos(n1)111(2n)2111（3）an（4）an1()

n(n1)nn1(2n1)(2n1)22n12n1（5）an1111[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)(6)ann212(n1)n1111nn,则S1nn(n1)2n(n1)2n2n1(n1)2n(n1)2n12n2，又bnn1n1n1anan1.[例4] 在数列{an}中，an和。解： ∵ an，求数列{bn}的前n项的12nn, n1n1n12211∴bn8()（裂项）nn1nn122∴ 数列{bn}的前n项和

1111111Sn8[(1)()()()]（裂项求和）22334nn18n1)= =8(1.n1n1

五、方法总结：

1.公式求和：对于等差数列和等比数列的前n项和可直接用求和公式。

2.错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项之积组成，那么此数列可采用错位相减法求和。

3.倒序相加法求和：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an)。4.裂项相消法求和：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。

六、作业布置：课本P49：第8题

数列教案 4

【关键词】高中数学；案例式教学

问题教学是数学学科知识内涵和要点的有效载体，是教学目标理念展现的重要途径，是能力素养培养的重要平台。长期以来，问题教学活动方略的实施，一直以� 但在传统问题教学活动中，部分教师片面的将问题教学看作是知识内容、解题方法传授的“工具”，在问题内容的设置和问题解答的传授中，不能精心准备，有的放矢，导致问题教学的效能达不到预期目标。新实施的高中数学课程标准则指出：“要注重发挥数学问题承载知识内涵的重要载体以及学生能力培养的功能特性”，“设置‘少而精’的数学问题，实现学生知识内涵有效掌握和能力品质的有效提升。”可见，传统“胡子眉毛一把抓”的“题海式”问题教学模式，已经不能适应新课改的要求。“少而精”的“典型性”的案例式教学模式，以其在反映教学内涵要义上的精准性，培养学生学习能力上的功能性等特征，成为有效教学的重要组成部分。近几年来，本人就如何做好案例式教学活动进行了尝试，现就如何选取典型案例，培养学生学习能力方面进行简要阐述。

一、问题案例应凸显“精”字，体现精辟性，使学生在感知问题内涵中领会设计意图

案例1 已知A（-2，-3），B（4,1），延长AB至点P，使AP的绝对值等于PB绝对值的三倍，求点P的坐标。

上述问题是教师在教学“平面向量的坐标运算”知识内容，在讲解“向量定比分点的几何运用”考察点时所设置的一道问题案例。教师在引导学生进行问题分析过程中，使学生了解到该问题是考查学生向量的定比分点坐标公式的应用。然后，教师再次引导学生进行问题解答方法的探索，通过对问题条件关系的分析，发现该问题可以采用两种不同的解答方法，一种是利用向量定比分点坐标公式求，考虑P为分点，应用定比分点坐标公式求点P的坐标。第二种是把向量的定比分点坐标公式看做是一个等量关系，通过解方程的思想处理问题。学生在上述问题解答过程中，对向量定比分点坐标公式的运用有较为准确和深刻的掌握，并对如何运用该知识点内容做到“胸中有数”。

从上述过程可以看出，教师在传授教材教学目标和设计意图时，抓住数学问题在表现教材内容上的准确性和精准性特性，通过设置具有典型特征的教学让学生进行问题解答活动，使学生在问题感知和分析过程逐步领会教学意图，为更好开展问题教学活动打下“思想基础”。

二、问题案例应凸显“活”字，具有丰富性，使学生在动手探索问题中形成解题技能

案例2：已知tanA与tan(-A+π/4)是方程x2+px+q=0的两根，若3tanA=2tan(π/4-4),求p与q的值。

案例2是教师抓住新课标所提出的“培养学生能动探究、动手实践的能力水平”这一要求，所设置的一道与“两角和与差的正切公式的综合运用”有关的数学问题案例，通过对该问题案例的分析可以发现，该问题考查的是学生对正切公式的综合运用解题能力。因此，学生在解答该问题时，引导学生先观察问题条件，根据问题条件得出tanA与tan(-A+π/4)=-p，tanA与tan(-A+π/4)=q，3tanA=2

tan(π/4-4)三个含有未知数tanA、p、q的方程，然后再解出tanA、p、q的值即可，接着学生结合教师引导过程，进行问题的解答活动，最后教师对该类型问题解答进行总结，指出解答此类问题时要注意利用方程思想解有关三角函数的问题。

从上述教学过程中，教师将学生探究能动性特性融汇贯穿在整个问题解答之中，利用数学问题在解答方法上的发散性，引导学生进行探究解答活动，逐步掌握和领会解答相似类型问题的要领和方法，为有效探究问题提供了“方法论”。

三、问题案例应凸显“新”，彰显综合性，使学生在解析综合问题中提升数学思想

众所周知，数学学科的形成过程就是一个不断发展、不断丰富的过程。数学学科要服务于生活，就必须紧跟时代“步伐”。近年来，高考试题的综合性更加鲜明，能力考查已成为试题命题的重点，数学思想培树也成为重要教学任务。因此，教师在数学问题教学时，要紧扣社会发展主题，研析高考政策要求，设计具有与现实生活性紧密联系的综合性问题，引导和教会学生用发展的、整体的、联系的目光，运用类比、化归、分类、辨析、整体等多种数学思想进行问题解答，实现学生综合运用数学思想能力的提升和进步。

案例3：设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n,an+Sn=4096。求数列{an}的通项公式；当数列{log2an}的前n项和为T，对数列{Tn}，从第几项起Tn＜-509。

这时教师在教学等比数列的前n项和内容，所设置的一道综合性问题案例，通过该问题案例分析可以发现，该问题考查的等比数列的定义，an与Sn的关系，数列通项公式的求法，等差数列求和以及二次不等式解答等内容，学生在解答时要运用到数列知识、不等式知识和化归和转化的思想，这样既能够使学生对等比数列的前n项和综合解答有效掌握，又能够为学生良好数学思想形成提供锻炼平台，收到“一石多鸟”的功效。

数列课的教学设计压缩稿 5

在一堂数列课中渗透数学文化教育的尝试

李世萍 汤敬鹏（兰州市第五十七中学 730070）

数学课程标准指出：数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。如果在数学教学中渗透数学文化，让学生接受它的熏陶，体会它的丰富价值，这对于激发学生的数学兴趣和求知欲，培养乐观向上的精神状态、思考解决问题的积极性和主动性及创新精神和实践能力都有积极的作用。更重要的是，通过在数学教学中渗透数学文化可以对学生健全的人格形成产生良好影响。有数学研究者认为“数学文化是数学教学的催化剂和润滑剂，它能使数学教学充满人文气息和情趣，使学生对数学教学充满兴趣和乐趣，将枯燥乏味的数学教学变得生动活泼”。因此，正如张奠宙先生所提出的，“数学文化必须走向课堂”，使学生受到数学文化的熏陶，品味数学文化的魅力。基于这样的观点，笔者尝试从数学文化的视角对人教版高中《数学》（必修）第一册第三章《数列》第一节数列（第二课时）进行教学设计，并进行了课堂教学。

本节课要求学生了解递推公式是给出数列的一种方法并能根据递推公式写出数列的前几项。本节教材中教学内容少，仅一道例题及四道练习题，如何使课堂教学内容更丰富、更饱满是教学设计的关键。在课前对例题的分析后，笔者发现例题具有丰富的数学文化内涵，值得进行深入的发掘，因此本节课以例题为切入点，通过充分挖掘其中蕴含的数学文化内涵，以丰富课堂教学内容，同时拓宽学生的视野。

本节课的复习引入，概念呈现环节都按教材内容进行常规教学设计，本节教学设计的重点是对例一的处理。现进行简单的实录如下。

一、课堂教学实录：

教师呈现例题：已知数列{an}的第一项是1，以后每一项的各项由公式an=1+

1an1给出，写出这个数列的前五项。

学生解答之后，教师要求学生再计算后续几项，并提出问题：观察上述数列{an}的各项有什么特点？即当n逐渐增大时，an的近似值是什么？请学生用计算器计算。

学生用计算器计算后发现，当n逐渐增大时，an的近似值为1.618，结合初中所学，学生知道这个近似值是黄金分割数。

学生在获得这个结论后非常惊奇，急于知道这是为什么，于是教师顺势引导学生进行探讨，教师提出下列问题引导学生思考：①当n足够大时，根据计算的结果，每一项和它的前一项的近似值应该有什么关系？②而根据递推公式，它们之间又有何关系？③综合利用这两个关系，我们可以形成什么样的关系式？学生思考讨论后得到以下解释：

12解：设当n逐渐增大时，an的近似值是x，则x=1+，即x-x-1=0

x15151

5、x2=（舍），其中≈1.618是黄金分割数，22211得到这个解释之后，教师又引导学生进行如下的操作：a2=1+=1+，1a1解得：x1=

a3=1+1111=1+，a4=1+=1+，„„，由于当n逐渐增大时，an的近似11a2a3111111值为15，于是学生得到了黄金分割数的无穷连分数表达式，即 21512111111...由无穷个1居然能够表示一个无理数，这引起了学生的极大的兴趣，一些学生积极思考后提出：黄金分割数的倒数是黄金分割比写成无穷连分数：512111111...51≈0.618，它比黄金分割数小1，因此它也可2，它的近似分数应该是例题中各数的倒数，即

11235813„，，，，123581321学生获得了这些在书本中没有的知识，异常兴奋，不由得互相议论起来，教师看到学生的热情如此高涨，觉得应该趁热打铁，于是趁势又提出新的问题：上面分数的分子1，1，2，3，5，8，13，„组成一个新的数列，你能写出这个数列的递推公式吗？

学生踊跃回答后，教师按学生回答板书此数列的递推公式：a1=a2=1，an=an-1+a=-2(n≥3)，之后教师又给出以下例题：

例

2、一般而言，兔子在出生两个月后就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么半年以后可以繁殖多少兔子？一年后呢？

学生再一次积极讨论起来，但得到了好几种不同的答案，彼此争论不下，这时教师在多媒体上演示了如下树状图：

学生在教师引导下，发现正确结果正是上一个问题中数列的各项，教师结合这个例题向学生介绍，这就是数学史中著名的“斐波那契数列”，之后教师给出其通项公式：an115n15n)()]，学生惊喜地发现，这个通项公式中正藏有黄金分割数与225[(黄金分割比，学生不由惊叹道，这两个数列可真有“亲戚”关系啊！

教师接着利用多媒体演示自然现象的“斐波那契数列”： 具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部，带小花的大向日葵的管状小花排列成两组交错的斐波那契螺旋，并且顺时针和逆时针螺旋的条数恰是斐波那契数列中相邻的两项，其中顺时针的螺旋有34条，逆时针的螺旋有55条。蒲公英和松塔也是以斐波那契螺旋排列种子或鳞片的。

另外还有很多，如蜘蛛网、水流的旋涡、蜗牛壳的螺纹以及星系内星球的分布等也是按照斐波那契螺旋排列的。

看到在习以为常的自然现象中竟有如此精妙的数学原理，这让学生叹为观止。这时教师提出建议，有兴趣的同学可以上网查阅相关的资料，找出更多的在自然现象中所隐藏的斐波那契数列。

二、教学反思

米哈伊·奇凯岑特米哈伊（Mihaly Csikszentmihalyi）指出，当活动满足以下条件时，我们就会产生心流（flow）体验：①目标明确；②反馈及时；③既不会很难，也不是很容易——能够充分发挥一个人的能力；④任务有趣。奇凯岑特米哈伊指出人类快乐的状态，是专注地融入某件自己喜欢做的事，全力以赴，尽情发挥，完全忘记其他所有不相关事物的存在，这时内心会感到很自然，很轻松，他把这种体验称作“心流”。本节课的教学设计就是力图使学生能够产生这样一种心流体验。如果我们不对教学内容进行开发，原有的内容太过简单，不具有挑战性，不能激起学生（特别是优等生）的学习热情，而如果象有些教师那样，在此处举出大量由递推公式求通项公式这样高考类型的题目，又会超出学生的学习能力，同样不会激起学生的学习动机，而象本教学设计那样借助数学文化进行的探究，正好处在一种中间的水平，而且学习的任务十分有趣，因此它会使学生产生心流体验，教学的结果也证明了这一点。教学过程中学生能够积极思考，学习热情高涨，本节课结束后，学生们经常会提到斐波那契数列。这说明，本节课确实给同学们留下了很深的印象，其中重要的原因就是由于教学中数学文化的渗透。由此可见，在数学教学中渗透数学文化，确实能激发学生的学习兴趣，最大限度地提高教学效果，提高学生的数学素质。这堂课的教学也让笔者认识到，作为一名青年数学教师，应该提高个人的数学素养。在平时的数学教学中，找出合适的题材，通过教学设计，巧妙的让数学文化走进课堂，从而使学生在学习数学的过程中真正受到数学文化的感染。

参考文献：

⑴

雷会荣，数学文化与数学教学，科学咨询，2008年第12期，92~93页； ⑵

严士健、张奠宙、王尚志等，普通高中《数学课程标准（实验）》解读，江苏教育出版社； ⑶ Jane A.G.Kise著，王文秀译，不同的人格 不同的教学，中国轻工业出版社，2009,1

数列教案 6

1.掌握等比数列前项和公式，并能运用公式解决简单的问题。

（1）理解公式的推导过程，体会转化的思想；

（2）用方程的思想认识等比数列前项和公式，利用公式知三求一；与通项公式结合知三求二；

2.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想。

3.通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度。

教学建议

教材分析

（1）知识结构

先用错位相减法推出等比数列前项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式与前项和公式结合解决问题，还要用错位相减法求一些数列的前项和。

（2）重点、难点分析

教学重点、难点是等比数列前项和公式的推导与应用。公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法（如分类讨论思想，错位相减法等），这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及，所以对等比数列前项和公式的要求，不单是要记住公式，更重要的是掌握推导公式的方法。等比数列前项和公式是分情况讨论的，在运用中要特别注意和两种情况。

教学建议

（1）本节内容分为两课时，一节为等比数列前项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前项和公式的综合运用，另外应补充一节数列求和问题。

（2）等比数列前项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总结，证明结论。

（3）等比数列前项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的兴趣。

（4）编拟例题时要全面，不要忽略的情况。

（5）通项公式与前项和公式的综合运用涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量，但解指数方程难度大。

（6）补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题。

教学设计示例

课题：等比数列前项和的公式

教学目标

（1）通过教学使学生掌握等比数列前项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前项和。

（2）通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质。

（3）通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度。

教学重点，难点

教学重点是公式的推导及运用，难点是公式推导的思路。

教学用具

幻灯片，课件，电脑。

教学方法

引导发现法。

教学过程

一、新课引入：

（问题见教材第129页）提出问题：（幻灯片）

二、新课讲解：

记，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消。

（板书）即，①

，②

②－①得即。

由此对于一般的等比数列，其前项和，如何化简？

（板书）等比数列前项和公式

仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边应同乘以等比数列的公比，即

（板书）③两端同乘以，得

④，

③－④得⑤，（提问学生如何处理，适时提醒学生注意的取值）

当时，由③可得（不必导出④，但当时设想不到）

当时，由⑤得。

于是

反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列。

（板书）例题：求和：.

设，其中为等差数列，为等比数列，公比为，利用错位相减法求和。

解：，

两端同乘以，得

，

两式相减得

于是。

说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题。

公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可。

三、小结：

1.等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用；

数列教案 7

关键词：数学教学；数学能力；学法；设计；反思

当前深入推进的素质教育，其核心就是要培养创新型人才。这是我国同现代化教育接轨的历史性进� 从数学试题上分析，与以往相比，更加侧重考查学生对数学知识的理解及运用能力，而减少了对学生解题的熟练程度的检查。从学生解答情况来看，经常出现“不教不会，新题不会，甚至是讲过多遍也答不对”的情况，究其原因主要是我们数学教师在培养学生的能力方面做得还不够。因此，在数学教学中如何加强对学生能力的培养，提高学生在未来激烈科技竞争中的实践能力不仅关系到每一名的高考，更关系到我国未来的发展，每位数学教师都必须对此高度重视，并应在教学实践中把培养学生的创新能力放在首要位置：

一、注重学法指导，培养学生的学习能力

素质教育的主体是学生，学生掌握了科学的学习方法，就能更快更好地理解、接受知识和提高能力，也只有学生自己“会学”，才能使学生的主观能动性得到充分发挥，各方面的能力得以加强，教学质量才能稳步上升。俗话说得好“授人以鱼，不如授人以渔”，说的也是指导学生掌握正确的学习方法，提高他们自我获取知识的能力的重要性。前苏联教育家巴班斯基认为，学习能力主要包括组织能力（合理安排时间、内容）、吸取学习信息的能力（阅读、记忆、使用工具、情报信息）和进行智力活动的能力（学习动机、领会教材、记忆理解教材、解决问题、独立练习和自我检测能力）。为了培养学生的各种学习能力，教师在日常教学中，要有针对性地对学生进行学法指导，要指导他们如何合理安排时间、内容，如何读书、使用工具，如何利用课外资料，以及如何对所获取的知识进行归纳、整理，如何解决在学习中遇到的困难，如何进行同学间的互助学习等等。只要学生们能够掌握正确的学法，不断提高他们的学习能力，就能在以后的学习过程中取得较好的效果。

二、优化课堂设计方案，培养学生的思维能力

数学教学的大量活动在45分钟的课堂之中，培养和发展学生的数学能力与课堂教学密切相关。德国教育家第斯多惠说：“教育的艺术不在于传播的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。”课堂教学的设计应着重体现这种“激励、唤醒、鼓舞”。因此，课堂教学方案的设计要考虑到在传授知识的同时，是否更有利于培养学生的能力，那些学生参与程度高，有利于激发学生兴趣和促进思维活动的方案，对学生能力的培养会更好。比如对等比数列的概念的教学，可以有以下几种设计方案：

方案一：先复习等差数列的定义，再结合几个常见的等比数列的例子由教师给出等比数列的定义，然后由学生根据定义判断一些数列是否为等比数列。

方案二：先复习等差数列的定义，然后请学生看以下几个数列：

“1，2，4，8，16，……；3，-9，27，-81，243，……；2，2，2，2，2，……；1，0.1，0.01，0.001，0.0001，……”让学生研究这几个数列的共同特征，并归纳出等比数列的定义，然后举出其它等比数列的例子。

方案三：复习等差数列的定义，然后点明课题，让学生类比等差数列的定义试给出等比数列的定义，并举出一些等比数列的例子。

以上几种设计方案，在培养学生能力上是有很大的差异的，方案一是属于注入式的结论性的教法，学生只学到一些知识，谈不上什么能力的培养；方案二是在学生观察、分析的基础上，进行抽象、概括而形成新的概念，对学生分析问题、归纳总结、抽象概括的能力得到了训练；方案三由于教师所提供的信息较少，学生要解决问题，就必须进行独立地思考，其智力参与程度更高，思维活动量更大，从而其分析问题、解决问题的能力得到了更大的训练，也就是说，方案三在体现学生能力培养方面效果会更好。

可见，对于同一内容的教学，不同的设计方案，对学生能力的培养是有很大的差距的，这就要求教师在日常备课中，要注意自己的教学方案在传授知识的同时是否有利于培养学生的数学能力，只有这样才能取得更好的教学效果，才能适应新一轮教学改革的要求。注重反思，发展学生的数学能力。在数学教学过程。

数列教案 8

一、编写导学案首先要紧紧围绕着教材

在编写前教师一定要经过大量的阅读和准备，不单是写写教案那么简单，自己还必须独立深入认真钻研书和教参。第一次备课不参照任何名家教案或参考书，只看教科书，想一想，看着例题和试一试，练一练，自己想怎么设计课。第二次对准自己备的课参照别人的备课，看看哪些是别人想到而自己没有思考到的，想想别人为什么要这样设计，取别人的智慧补充自己的教学设计。第三次交给学科组集体讨论定稿。第四次在上课后，根据课堂的实际情况写出课后反思，调整自己的教学策略，敲定教学细节处理。这样的备课能促进我们独立思考，不断提高能力。而不是像有的导学案，基本上就是将几个简单题目罗列起来，没有导学案使用说明，没有方法指导，没有知识分层，没有拓展探究，效果可想而知。如四年级下册《确定位置》导学案编写片段1：

学习过程：

自学课本98页例1

1.指一指：在座位图上分别指出列和行，数一数一共有（_______）列和（_______）行。

2.涂一涂：（1）在圆圈图上，找出第一列，并用蓝笔涂实；

（2）再找出第1行，用红笔涂实；

（3）请按顺序再数一数列和行。

通过指一指，先数一数共有列、行；再涂一涂第1列，第一行；最后按顺序数一数列和行。设计要点：（1）方法指导：指一指、涂一涂、按顺序数一数；（2）知识层层深入：①数一共的列和行；②按顺序数列和行。这样的设计既有方法指导，又有知识分层，效果可想而知。

二、编写导学案要以学生为主题

对同一教材的内容，师生的年龄、认知水平和生活经验都有巨大差异，必然对教材内容的实际解读相差巨大。因此备课时，教师要认真研读教材、准确理解编者意图，不但要站在教师的角度想全面，还要设身处地站在中学生的角度读教材，并提出疑问。站在学生认知的角度，站在文本整体的高度，体察学生阅读中可能遇到的问题和需要具备的方法，分析应该落实的知识、训练重点，找到三维目标的交汇点，在心里和学生先期对话，彻底吃透教材，能够对教材内容举一反三，变式练习层层递进。然后再统筹安排在教学中学生想学什么？学生学什么、怎样学？片段2：

3.小军的位置在第_______列，第_______行。用数对表示是（_______，_______）。

小组交流。

本课是通过统一观察角度、按同样的顺序数，确定位置。但从学生的角度，即便不统一，也能说得清楚，只是复杂点唆点。为什么课本里要安排这课呢？在导学案片段2例就深刻体现出了这一点。统一的观察角度、按同样的顺序数，确定在第4列，第3行。清楚、不唆。更深一层次，用数对表示是（4，3），更显简洁，准确。既有了知识分层，又拓展了探究，更体现了数学的简洁性、准确性。

三、编写导学案要体现数学思想

教材的编排有两条贯穿始终的主线：一条是明线，即知识的联系；另一条是暗线，即掩藏在知识背后的数学思想方法。如：在教学《确定位置》时，明线是：用数对表示位置。暗线是：数学的严谨、准确、简洁性。紧扣两条线索，帮助学生统一确定位置的方法，体会数学的准确、简洁之美。学生经历了认知的全过程，就会形成良好的认知结构。仔细考虑课堂教学中的细节问题，对于课堂上学生可能出现的认知偏差要有充分准备。

四、编写数学“导学案”的模块

不同的课型导学案所包含的基本模块和要求也不太一样，总的来说，大致包含如下一些环节。

1.学习目标。它是整篇导学案的灵魂，其他环节均为它服务。它的设计应包含三层目标：知识目标、能力目标、情感目标，目标要简洁、清晰、准确、全面、具体。最重要的是从学生的角度拟定。

2.学习过程。各种课型有所不同，但问题（知识模块）设计要遵循知识问题化、问题层次化的原则。教师给予学生学习每节课具体的、有针对性的、方法上的指导。引导学生回顾与本节有关的、有帮助的旧知，以便更好地理解和掌握新知，还要根据所学部分的核心内容和知识主线设计2～3个有思维价值的问题。

3.课内练习。对所学知识的进一步升华和深化，要求较高，可以培养学生运用知识解决问题的能力。也要有当堂检测，检验学生的学习效果和导学案的实施效果，总结经验，吸取教训；当堂检测可另附页。题量控制在3～4个，时间为5～10分钟。

4.学生小结。对本节所学知识、方法、规律的总结，可在教师的启发、引导下进行。

数列教案 9

在本节课教学设计中，以学生身边的一个事例为背景，创设一个数学情境，激发了学生的学习兴趣和探究热情，体现了“人人学有价值的数学”的教学理念。教师引进著名数学家高斯十岁时所做的一道计算题，通过此题的解法让学生发现规律，从而探索出等差数列的前n项和公式的推导过程。这个过程反映了数学思维方法的灵活性，从学生丰富多彩的解答中，我们看到了“不同的人在数学上得到不同的发展”。

【教学背景】

所授班级为普通班，学生的数学认知水平高低不一，所以，教师在问题探究的设置上要体现出知识的层次，力求使所有学生都能参与各种问题的探究。

【教学设计】

一、教材分析

1.教学内容

“等差数列的前n项和”为苏教版必修5第二章第二节的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。

2.地位与作用

本节对“等差数列的前n项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其实学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。对本节的研究，为学习数列求和提供了一种重要的思想方法――倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。

二、目标分析

1.教学目标

（1）掌握等差数列的前n项和公式及推导过程。

（2）会简单运用等差数列的前n项和公式。

（3）结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。

2.教学重点、难点

（1）重点：等差数列前n项和公式的推导和应用。

（2）难点：等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。

三、教学模式与教法、学法

本课采用“探究―发现”教学模式。

教师的教法：突出活动的组织设计与方法的引导。

学生的学法：突出探究、发现与交流。

四、教学活动设计

1.新课引入

创设情境：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支。这个V形架上共放着多少支铅笔？

问题就是（板书）“1+2+3+4+…+100=？”

设计意图：利用实际，生活引入新课，形象直观。

2.探索公式

介绍数学家高斯，然后提出问题：高斯是如何快速计算1+2+3+4+…+100？设等差数列{an}前n项和为Sn，则：Sn=a1+a2+…+an-1 +an

问题1：

老师：利用高斯算法如何求等差数列的前n项和公式？

学生：1+100=101，2+99=101，…50+51=101，所以原式=50 （1+101）=5050

学生：将首末两项配对，第二项与倒数第二项配对，以此类推，每一对的和都相等，并且都等于（a1+an）

学生：不一定，需要对n取值的奇偶进行讨论。

当n为偶数时刚好配对成功。

通过对n取值的讨论，得到了前n项和求和公式。但是对n讨论麻烦了，能否有更好的方法求前n项和公式呢？

问题2：如何用倒置的思想求等差数列前n项和呢？

Sn=a1+a2+…+an-1+an

3.例题选讲

例1：计算

（1）1+2+3+…+n （2）1+3+5+…+（2n-1）

（3）2+4+6+…+2n （4）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n

设计意图：学生自己阅读教材，体会教材的解法是如何运用求和公式的。

……

4.课堂总结

本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明。

（1）回顾从特殊到一般，一般到特殊的研究方法。

（2）体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想。

（3）掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。

5.课后作业

教材44页：1、2、5、6

数列教案 10

关键词：数列；创新教学；教学主体

在整个高中数学教学中，数列处于数学知识和数学方法的汇合点，很多的知识都与数列有着密不可分的关系：前有学过的数、式、方程、函数，后有即将要学的三角函数、不等式、数学归纳法、极限等。因此，在高中数学教学中，数列研讨是为了学生能够更好地洞察高中数学教学设计的一般规律， 同时，对于学生来说，数列的学习对于帮助他们掌握整个高中数学的基本知识和技能有着非常重要的作用和影响。

一、高中数学数列的应用简析

作为高中数学教学内容的重要组成部分，数列中蕴含了很多灵活多样的教学理念和方法。一方面在日常的生活中，数列能够解决很多实际生活中的问题，不仅应用广泛，而且还具有很高的应用价值。例如，生物细胞分裂，中国人口增长以及密度，产品规格的设计等等，都会涉及数列的应用；另一方面，在学生能力的培养方面，数列的学习不仅有利于学生运算能力和效率的提高，而且对于学生逻辑思维能力的培养也是非常有利的。因此，在高中数学教学中，教师一定要注重数学数列教学方法的深入探究和创新，采用最有效的教学方式，提高学生的学习效率。

二、高中数学数列的创新教学

1.教学设计的创新思考

传统的高中数学教学中，教师习惯于“一言堂”“满堂灌”的教学形式，自然在教学设计上，也是根据数学教材的需要将其设计成一种具体的教学计划，往往是按部就班。所谓优化教学设计，就是要通过教学设计来解决教学问题，并探究总结出解决问题的方法和步骤，从而形成新的教学方案，并在教学方案实施的过程中，不断地分析、探索、反思，判断其实施的真正价值。

如在学习“等比数列前n项和”的教学过程中，我先抛给学生一个趣味问题：从前印度有个国王，他想要奖励该棋的发明者，于是就问那个发明者：“你想得到什么赏赐或者你有什么要求，我都可以满足你。”这个发明者说：“请您在棋盘上的64个格子中的第一个格子放上一粒米，第二个格子放两粒，第三个放四粒，第四个放八粒……以此类推。每一个格子里的米粒数都是前一个格子米粒数的二倍。”国王一听没多少，就答应了他。你们知道国王许诺了多少粒米吗？同学们对这个问题的答案都充满了好奇，从而积极地开展了探究学习。这样的教学设计，不仅有利于激发学生的学习兴趣和积极性，而且还能有效提高教学效率。

2.数学概念的创新理解

数列的数学概念是对数学对象本质属性进行反应的思维方法。在对数学概念进行陈述和教学设计时，笔者以为教师应该着重对于概念的体现和特点进行描述，并引入符合学生生活实际的应用案例，将一些抽象的课本知识，转变为学生熟悉的、喜闻乐见的实际问题，这样既能激发学生对于数列知识的学习兴趣，而且还能认识到数列知识的在现实生活中的实际价值，从而产生学习的需要。

此外，在数列的学习中，教师还可以有意识地结合一些其他的知识点共同学习。例如，函数思想在数列中蕴含了函数的指导思想，教师应该有效地引导学生发现函数与数列的关系。数列中的项是按照一定的顺序排列的，而这次序便是函数中的自变量。相同的数组成的数列，次序不同则会引起数列的变化。通过这样多方面的引导，可以培养学生多角度、多方位思考问题的能力的同时提高学生学以致用的能力。

3.教学主体的创新认识

学生是教学活动的主体，所有的教学思想、教学设计、教学活动都是为学生的终身发展和提高服务的。因此，在高中数学数列的教学中，一方面，教师应正视学生的主体地位，转变传统填鸭式的教学，有意识地调动学生的主观能动性；另一方面，教师应正视学生的个体差异。“龙生九子，各有不同。”学生之间的个体差异是客观存在的。对于同一个数列概念和知识的认识水平，认识结构都存在不同。对于那些基础差、接受能力较低的学生来说，单纯依靠其自身发现和探索不完全行不通的，这一类学生更加适合传统的教学方式，这样不仅能保证学生在尽量短的时间里掌握数学数列的基本知识，而且还能通过课后练习，巩固知识；对于接受能力稍差的同学，可以将一些较为简单的数列问题留给他们，让其自行解决。稍难一点的，则需要通过教师的指导和帮助，解决问题。在教学中，教师应从学生的具体需要出发进行教学设计与教学方法的创新，这样才能收到事半功倍的教学效果。

参考文献：

数列教案 11

教科书118页例6及“做一做”。练十九1～5题。

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1.使学生初步学会分析“已知有两个数的和与差，和两个数的倍数关系，求两个数各是多少”的应用题的数系，正确列出方程进行解答。

2.指导学生设末知数，表示两个数之间的关系。

3.训练学生分析这类应用题的数量关系。

（二）能力训练点

1.会解答所列方程形如axbx=c的应用题。

2.会正确找出应用题的等量关系。

3.会进行检验。

（三）德育渗透点

1.培养学生认真学习的好习惯。

2.渗透不同事物之间既有联系又有区别的观点。

（四）美育渗透点

通过题目中的等量关系，使学生感受到人民的卓越智慧，体会到源于生活。

二、学法指导

1.引导学生分析题意，找出等量关系。

2.指导学生试算，利用已有经验进行体验。

三、教学重点

用方程解答“和倍”“差倍”应用题的方法。

四、教学难点

分析应用题等量关系，设末知数。

教学过程设计

（一）复习准备

1．列方程并求出方程的解。

（1）x的5倍与x的3倍的和是40；

（2）某数的4倍比它的6倍少24。

2．根据下面的条件，找出数量间的相等关系。

（1）大米与面粉重量的和是1000千克；（大米的重量+面粉的重量=重量和。）

（2）每支钢笔比每支圆珠笔贵3.8元；（每支钢笔的价钱-每支圆珠笔的价钱=贵的价钱。）

（3）已看的页数比剩下的页数少76页。（剩下的页数-已看的页数=少的页数。）

3．用含有字母的式子表示。

（1）学校科技组有女生x人，男生人数是女生的3倍，男生有（）人，男生女生一共有（）人，男生比女生多（）人；

（2）果园里苹果树的棵数是梨树的2倍，梨树有x棵，苹果树有（）棵，苹果树和梨树一共有（）棵，梨树比苹果树少（）棵。

4．解答：果园里有桃树45棵，杏树的棵数是桃树的3倍。两种树一共有多少棵？

（1）学生审题画图，独立解答。

（2）学生解答后讲解：

解法1：

列式：45＋45×3=45＋135=180（棵）

解法2：

列式：45×（3＋1）=45×4=180（棵）

答：两种树一共有180棵。

（二）学习新课

1．改变上题的条件和问题，使

果园里桃树和杏树一共有180棵，杏树的棵数是桃树的3倍，桃树和杏树各有多少棵？

（1）学生审题，将复习题的图改为例6。

（2）思考：

①这道题求什么？与以前学习的应用题有什么不同？（有两个未知数。）

②怎样设未知数呢？

如果设桃树有x棵，那么杏树就有3x棵；

比较哪种设法比较简便？为什么？

易解。

将线段图中的问号改为x或3x。

（3）根据哪个条件找数量间的相等关系？

根据桃树和杏树一共有180棵，找等量关系。

（4）列方程，解方程，

解：设桃树有x棵。或：

（5）检验，答题。

教师：检验时，可以把得数代入题目，看是否符合已知条件。

学生进行检验。

①看桃树和杏树一共的棵数是否是180棵，

45+135=180（棵）

②看杏树棵数是否是桃树的3倍，

135÷45=3

答：桃树有45棵，杏树有135棵。

2．试做：

果园里杏树比桃树多90棵，杏树的棵数是桃树的3倍，桃树和杏树各有多少棵？

（1）思考：

此题与例6相比，哪些地方相同？哪些地方不同？数量关系是怎样的？（倍数关系相同，不同点是把两种树的和改成了两种树的差。）

数量关系为：

（2）试做：

检验：

①135-45=90；

②135÷45=3。

答：桃树有45棵，杏树有135棵。

3．小结：

思考讨论：

（1）我们今天学习的应用题有什么特点？（今天学习的应用题，都是已知两种数量的倍数关系以及它们的和或差，求这两种数量各是多少。）

（2）这样的应用题，我们是怎样解答的？（一般根据倍数关系，设一倍数为x，另一个数用含有字母的式子表示；再根据这两种量的和或差，找出数量之间的相等关系，就可列出方程，并解方程，求出得数；最后还要把得数代入题目中去，看是否符合已知条件。）

（三）巩固反馈

1．根据条件，设未知数。

（1）快车的速度是慢车的2倍。

设（）为x千米，那么（）为2x千米；

（2）男生人数是女生的1.2倍。

设（）为x人，那么（）为1.2x人；

（3）大米的重量是面粉的3.5倍。

设（）为x千克，那么（）为3.5x千克；

（4）父亲的年龄是女儿的4倍。

设女儿的年龄为x岁，那么父亲的年龄为（）岁；

（5）甲桶油的重量是乙桶的1.5倍，设乙桶油的重量为（）千克，那么甲桶油的重量为（）千克。

2．独立解答P118“做一做”，P119：4。

解答后讲解数量间的相等关系。

做一做：

根据“四年级、五年级共有学生330人”，得：

四年级人数+五年级人数=四、五年级人数和

1.2xx330

P119：4。

根据“如果再往乙袋里装5千克大米，两袋就一样重了。”可知乙袋比甲袋少5千克，得：

甲袋重量-乙袋重量=乙袋比甲袋少的重量

1.2xx5

3．将上题中的“如果再往乙袋里装5千克大米”改为“甲袋给乙袋5千克”应怎样解答？

画图理解：甲袋比乙袋多多少？

从图上看出甲袋比乙袋多5×2=10（千克）

根据：甲袋重量-乙袋重量=甲袋比乙袋多的重量

1.2xx10

列方程：1.2x-x=10。

4．课后作业：P119：1，2，3。

课堂教学设计说明

列方程解含有两个未知数的应用题，学生第一次接触，因此设哪个未知数为x是本节课的难点。为了分散这一难点，在复习中采取填空的形式，引导学生根据倍数关系设未知数。在新授中，通过对两种设法的比较、分析，得出设一倍数为x比较简便。在练习中又设计了专项练习，学生在思考、讨论中，透彻地理解并掌握了这一规律。

例6学习了列方程解和倍应用题，改变其中一个条件，变成差倍应用题，着重引导学生比较两题的异同。讨论解答方法哪些地方相同，哪些地方不同，既可提高教学效率，又能将学生的注意力引导到比较两题的异同上面来，有助于形成两种解法的逻辑关系。

数列教案 12

1.教材分析

本人仔细研究教材，深入挖掘编者意图，认为本节课的教材主要由以下几部分组成：

从小精灵聪聪提出的问题："小东家厨房装修得真漂亮，你能找出这些图案的规律吗？"入手，并呈现出小东家厨房墙面与地面瓷砖的图案，从生活中熟悉的情境出发，符合二年级学生的心理需求，目的在于调动学生的学习积极性，让学生观察这两个图案里面有什么规律？这为例1的教学埋下了伏笔。

例1把数学从生活中勾画出来，用图形代替图案，意在引导学生用生活经验解决数学问题，学会从数学的角度思考生活中的问题。

"做一做"的目的主要有：及时反馈对例1的掌握情况；引导学生学会逆向思维，直接从前面的"往后移"转变为"往前移"，让学生学会举一反三这一数学方法。

④从小精灵明明的问题："你能在手帕上设计出有规律的图案吗？"结束，目的在于引导学生发现数学美，并把数学运用于我们的日常生活中来。真正体现了新课标提出的数学从生活中来，到生活中去的教育理念。

2.学情分析

学生在一年级下册已经掌握一些简单的排列规律，如：

（　）（　）（　）等等。而本节课的规律教学是在原来的基础上提高一定的难度，因为学生有前面的基础作为铺垫，因此本节课的教学，只要能抓住教学的重难点，并进排有效的引导，我相信名师们常说的："没有教不会的学生"将不再是一件难事。

二、教学目标

1.使学生发现并掌握图形的排列规律。

2.培养学生观察　操作　归纳　推理的能力。

3.培养学生发现生活中数学美的审美意识，并学会用数学去创造生活中的美。

4.培养学生学习数学的兴趣，从数学的角度思考生活中的问题。

5.培养学生养成排列整齐的生活习惯。

教学重点：

掌握图形的排列规律。

教学难点：

发现图形的排列规律。

三、准备材料

教具：小黑板　墙面图案卡片　地面图案卡片　例1卡片

学具：墙面图案延伸卡　地面图案延伸卡　一张白纸　彩色笔

四、教学流程

（一）创设情境　回顾旧知——　《5分钟》

师：上课之前，想请同学们帮老师一个忙，不知道大家是否愿意？（愿意）老师为自己家厨房的装修设定了几套方案，不知道该选择哪一套比较漂亮，想听听同学们建议。

师出示以下两张图，问：你更喜欢哪一种方案？为什么？

生发表观点：喜欢第一种，因为第一种排列有规律；第二种比较乱。

【设计意图：通过创设帮老师解决问题的学习情境，充分调动学生踊跃参与的学习热情，培养学生排列整齐的生活习惯。因为学生在一年级下册已初步掌握了简单的排列规律，故设计此方案，符合学生的实际需求，且为接下来的新课教学奠定基础。】

（二）合作学习　主动探究　——《20分钟》

（1）墙面方案　——《2分钟》

1、师出示第三个方案

问：这个方案，你们觉得可以吗？说说你的理由？

生1：我认为不可

生2：我认为可 第一排的　排在第1个；第二排的　排在第4个；第三排的　又排在第1个；第四排的　又排在第4个，这也是有规律的。

师：你们能否按照这个规律，一起设计第5排、第6排的排列方案吗？

生按照这个规律继续完成第5、6……排。

2、师出示第四个方案——《5分钟》

问：第四个方案，�

生1：第一排的第1个，调到第二排的第4个，其余三个依次往前移；第二排的第1个，调到第三排的第4个，其余三个依次往前移；第三排的第1个调到第四排的第4个，其余三个依次往前移。依次类推，按照这个规律继续往下排列。

其它学生尝试着叙述这个过程：每一排的第1个移到下一排的第4个，其余三个不改变顺序依次往前移。

生按照这个规律依次把第5排、第6排补充完整。

3、合作讨论：第五个方案——《5分钟》

问：�

生补充第5排、第6排…………

小结：经过同学们的帮忙，老师最后决定采纳最后一种方案，谢谢大家的帮忙。

【设计意图：从“扶”到“放”，依次出示第三、四、五方案，由易到难，由浅入深，层层递进，符合学生“跳一跳，够得着”的教育理念。】

（2）地面图案规律——《3分钟》

师：谢谢同学们帮老师出谋献策，让老师选中了一套自己喜欢的墙面设计方案，那接下来地面的设计，你们又是否愿意帮忙呢？

师出示地面砖的排列，让学生继续补充第5、6、7、8、排。

师：5　6　7　8排的图案刚好是把1至4排的图案再重复一遍而已。

问：9　10　11　12的图案又会是怎样呢？为什么会刚好是每4排循环一次呢？　（因为每一排都是由4种颜色组成，每一种颜色轮流排一次，刚好需要4次，所以每4次刚好循环一遍。）

（3）例1——《5分钟》

让学生自排补充完整，教师对此题进排延伸、拓展。

【设计意图：学生以上方案的探讨中，已经掌握了图形的排列规律。因此，这题主要放手让学生自己去尝试，一方面可以检查学生的掌握情况，另一方面也温故而知新。5到12排的延伸，让学生明白了小规律中隐藏着一个大的规律，无形当中对学生进行“山外有山　楼外有楼”的学习态度。】

（三）反复实践　巩固规律——《5分钟》

“做一做”学生做在书上，一生上台板演。

注意指出：前面的方案是从前往后移，而这题则是从后往前移。

【设计意图：培养学生迁移的学习方法，认真审题的学习习惯。】

（四）动手实践　创造规律——《5分钟》

（1）创造规律

师问：你们能在手帕上设计出有规律的图案吗？

师挑选几个代表上台展示作品。

小结：规律其实就在我们的身边。

【设计意图：培养学生发现和欣赏数学美的意识，知道数学来源于生活，用之于生活。】

（2）练十三1　2题

（五）课堂总结　梳理知识——《5分钟》

（1）揭示课题：排列规律

（2）谈谈本节课的收获与体会。

（六）板书设计

排列规律

墙面图案　地面图案

数列教案 13

关键词：时间序列分析课；教学改革；案例研究；统计学

收稿日期：2013-05-28

基金项目：河南省教育厅科学技术研究重点项目（编号：13A110802）；洛阳师范学院教改项目（编号：2012024）；洛阳师范学院省级培育基金项目（编号：2012-PYJJ-005）

作者简介：聂淑媛（1974- ），女，洛阳师范学院数学科学学院教师，博士，研究�

作为统计学专业极为重要的专业必修课程，时间序列分析课被公认为是难度较大、综合性很强的一门课程，它不仅有一套严密的理论体系，更以其广泛的应用性和高效的实用性而逐渐引起统计学家和经济学家的高度重视，可谓是数理统计学中与社会经济等实际活动联� 所以，时间序列分析课的教学模式和课程建设，对整个统计学专业的发展态势起着很大的影响作用，笔者结合自己的教学经验，对该课程的教学改革和体系建设做了一些积极的尝试。

一、对时间序列分析课进行教学改革的切入点

1.结合统计学专业的归属学科，明确定位时间序列分析课的教学主导方向

当前，在国内许多高校，统计学专业分别归属于理学和经济与管理类两个不同的学科，学生毕业时相应获得理学学士学位或者经济学学士学位。笔者认为，对于这两种不同模式的统计学专业，时间序列分析课教学主体内容和教学方式应该有所区别。理学统计专业的学生已经系统地学习了数理统计课和随机过程课等相关统计课程，具有良好的数学基础，时间序列分析课教学应该力图从数学理论和基本技术的角度，系统阐述时间序列模型的结构原理和性质，注重严谨的理论和严密的逻辑体系，以形成相应于学生认知结构的时间序列理论和方法，培养能够适应于不同领域统计工作和统计研究的专业统计人才。而经济与管理类统计专业的培养目标是懂得一定的数理统计方法，经济与管理知识理论功底扎实，能够熟练掌握现代计算手段和分析方法的复合型人才。因此，时间序列分析课教学应该密切联系经济学和管理学等学科，它不再是数理统计的一个理论分支，更多的是作为一种统计分析工具，侧重于运用时间序列分析方法从事市场调查、经济预测和信息分析等有关工作。

当然，时间序列分析课是一门理论性和应用性都很强的课程，无论是理学统计专业，还是经济与管理类统计专业，都不应该把理论和应用割裂开来，而要注重二者的有机结合。只讲理论与方法，则失去了应用价值；只讲应用，则学生缺乏基本的理论素养和科研创新基础，这两种做法都是不可取的。理学统计专业要避免只重视定性分析的理论推导而忽视进行定量分析的实际操作，只重视基础知识而忽视问题解决的传统教学模式，经济与管理类统计专业在大力发展实践应用的同时，也要注意让学生掌握必要的理论知识，力求让学生“知其然亦知其所以然”。因此，从某种意义上讲，两类统计专业中时间序列分析的教学只是侧重点有所不同，选择一套适合专业需求的教材，灵活把握好理论和实践的“度”，恰当地处理好基础知识和应用的衔接与搭配，是搞好时间序列分析课教学改革的关键所在。

2.以学生的专业实习基地为背景，精心选择有实际意义的案例研究，融入时间序列分析课教学

时间序列分析课大多安排在大三或大四，学生已经有了一定的实习经历，通过在实习基地的工作，在一定程度上获得了对实际问题的感知，容易在这个过程中找到自己感兴趣的问题。此时，根据教学内容的需要，精心选择学生在实习基地已经接触过的，有代表性、有针对性和客观性强的数据资料作为案例，然后对案例进行细致的剖析和广泛的讨论，一方面致力于解决实际问题，同时也让学生直接体会到理论知识在现实中的应用，这种教学方式必将极大地激发学生学习的积极性和主动性。

3.以实验室建设为依托，大力发展统计软件的学习和使用，增强时间序列分析课的实用性

在计算机高速发展的现今时代，要想有效地分析数据、解决实践问题，必须掌握一门统计软件。对统计学专业的学生来说，笔者推荐SAS软件，它不仅是目前最权威的统计分析领域的国际标准软件，而且具有全球一流的数据仓库功能，对海量数据的处理最具优势。更重要的是，SAS软件中有一个专门进行时间序列分析的模块SAS/ETS。统计软件的使用将大大缩减数据处理的劳动量，提高工作效率和计算分析的准确度，为实际问题的处理提供可行性。

4.注重教学理念的创新和教学方法的多样化

时间序列分析课兼具理论性、实用性和可操作性，单一的教学模式根本无法体现该课程的多重特点，教师必须摒弃很多年都在使用同一本教材、按照一个固定模式授课的简单做法，而应该根据教学内容，灵活采取多种教学手段和教学方式。比如，对于模型的创建和预测，可以结合案例，在实验室通过上机操作研究和处理。概而言之，在时间序列分析课教学中，教师必须改变“教师讲、学生听”的传统“填鸭式”教学，尽可能采取启发式和讨论式教学，教师只讲授基本理论和思路方法，学生通过自主探究和团队合作综合解决问题。

5.转变考核方式，从纵、横两个方向拓宽时间序列分析课考核方式，提升学生的综合实践能力

考核是学生非常关心的一个问题，教学方式的转变必然要带动考核方式的转变，对时间序列分析课的考核不应该再仅仅停留在闭卷考试的层面上，而应该提倡多元化、多方面地考查学生的综合素质。比如，通过对案例分析的研究，强调学生对案例的总结与讨论，所形成的案例分析报告可 同时，引导学生把时间序列分析方法运用到数学建模竞赛中，把一些较为理想的成果整理成论文，可 对于有价值的选题，可以由教师牵头组成一个团队，申报有关项目，教学带动科研，科研提升教学，在教与学的互动中促进教师和学生的共同进步。

二、教学改革对师资队伍科研能力提升的要求

时间序列分析课是统计学较新发展的一门分支，各高校的教师队伍普遍比较年轻，不同专业出身的教师其研究方向各有不同。比如，理学专业的教师统计理论功底扎实，但实践应用方面相对薄弱，经济类专业的教师往往对统计方法和软件运用自如，而一旦涉及严格的数学理论却无法解释清楚。因此，加强师资队伍的建设是时间序列分析课程建设的一个重要内容。为了在教学中充分把握理论和实践的结合，教师自身首先应该是理论基础扎实、知识储备广泛、实践能力强的高端复合型人才，不仅熟知本学科的科技前沿和发展方向，更要经常补充自己专业以外的相关知识，积极搞好科研工作，在教学和科研中加强和提高自己的专业素养和创新能力。教师也只有站在这样的高度上，才能够选取与学生专业知识背景相吻合的高质量案例，才能够结合自己的研究方向启发和引导学生对实际问题的思索，才能够预知和解答学生在实践中可能产生的各种疑问，才能够有效地在案例教学中培养学生的应用意识。

三、结语

尽管时间序列分析课理论深奥、技术性强，在实际应用时对分析人员的要求较高，但笔者通过与课程组同事对该课程教学改革的深入研讨，已经初步形成了具有特色的教学模式——根据专业需求和实践背景，适度掌握理论、实验和案例分析在教学中的比重。通过灵活运用这些教学方法，极大地促进了学生由被动接受知识逐渐转向自主探究学习，加强了学生的团队协作精神，提高了学生解决实际问题的能力和综合素质。当然，任何一门课程都不可能有一成不变的教学方法，教学改革更需要与时俱进，需要在教与学的实践过程中不断积累、不断发展和不断创新，以取得更理想的教学效果。

参考文献：

[1]肖莉。SAS统计软件在时间序列分析课程中辅助教学的探讨[J].科技创新导报，2011，（2）.

[2]储志俊。时间序列分析课程教学方法探讨[J].无锡教育学院学报，2005，（1）.

[3]钱珍。案例教学在时间序列分析中的应用[J].统计教育，2007，（10）.

数列极限教学设计 14

数列极限教学设计

复习目的：1.理解数列极限的概念，会用“”定义证明简单数列的极限。

2.掌握三个最基本的极限和数列极限的运算法则的运用。

3.理解无穷数列各项和的概念。

4.培养学生的推理论证能力、运算能力，提高学生分析问题，解决问

题的能力。

教学过程：

问题1：根据你的理解，数列极限的定义是如何描述的？

数列极限的定义：对于数列{an},如果存在一个常数A，无论事先指定多么小的正数，都能在数列中找到一项aN,使得这一项后的所有项与A的差的绝对值小于，（即当n>N时，记

时，an趋近于A的无限性，即趋近程度的无（1）的任意性刻划了当

限性（要有多近有多近）。

（2）N的存在性证明了这一无限趋近的可能性。

问题3：“

问题4：“”定义中的N的值是不是唯一？ ”定义中，

因为N时，an对应的点都在区间（A-

问题5：利用“，A+）内。”定义来证明数列极限的关键是什么？ N时，立）。

问题6

：无穷常数数列有无极限？数列呢？数列

（

三个最基本的极限：（1）C=C，（2）=0，（3）=0（

问题7

：若=A，=B，则（）=？，（）=

？，=

？，=？。数列极限的运算法则：（）=A+B，（）=A-B，=AB，=（B0）。

即如果两个数列都有极限，那么这两个数列对应项的和，差，积，商组成新数列的极限分别等于它们极限的和，差，积，商。（各项作为除数的数列的极限不能为零)

问题8：（，）

=

++

+=0对吗？ 运算法则中的只能推广到有限个的情形。

问题9：无穷数列各项和s是任何定义的？ s=,其中为无穷数列的前n项和，特别地，对无穷等比数列（

．用极限定义证明：

例2．求下列各式的值

（2）[（）=，]

（2）（）

例3

．已知例4

．计算：

（++）=0，求实数a,b的值。+，例5．已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，它的前n项和为

是首项为1，公比为q（记=+++，若（-）=1，求d , q。

小结：本节课复习了数列极限的概念，运算法则，三个最基本的极限，无穷数列各项和的概念，以及它们的运用，主要是利用数列极限概念证明简单数列的极限，利用运算法则求数列的极限，（包括已知极限求参数），求无穷数列各项和。

《数列通项公式》教学设计 15

《数列通项公式》教学设计

【授课内容】数列通项公式 【授课教师】陈鹏 【授课班级】高三6班

【授课时间】2009年10月20日晚自习 【教学目标】

一、知识目标：

1.解决形如an+1=pan +f(n)通项公式的确定。

2．通过学习让学生掌握和理解an+1=pan +f(n)此类型的通项公式的求法。

二、能力目标：

在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出数列通项公式，培养学生类比思维能力。通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。利用学案导学，促进学生自主学习的能力。

三、情感目标：

通过公式的推导使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法。【教学重点】

通过学习让学生能够熟练准确的确定掌an+1=pan +f(n)此类型的通项公式，并 能解决实际问题。【教学难点】

1.如何将an+1=pan +f(n)转化为我们学过的两个基础数列（等差和等比）。2.理解和掌握an+1=pan +f(n)此类型数列通项公式确定的数学思想方法。【教学方法】探索式 启发式 【教学过程】 一．引入：

1、等差、等比数列的通项公式？

2、如何解决an+1–an =f(n)型的通项公式？

3、如何解决an+1∕an =f(n)型的通项公式？

二．新授内容：

例1：设数列{an}中，a1=1, an+1=3an , 求an的通项公式。

解：略

例2：设数列{an}中，a1=1, an+1=3an+1, 求an的通项公式。分析：设an+1=3an+1为an+1+A=3(an+A)

例3：设数列{an}中，a1=1, an+1=3an+2n, 求an的通项公式。

分析：设an+1=3an+2n为an+1+A(n+1)+B=3(an+An+B)

思考：设数列{an}中，a1=1, an+1-3an=2n, 求an的通项公式。

分析：法一：设an+1=3an+2n 为an+1+A2n+1 =3（an+A2n）

法二：an+1=3an+2n的等式两边同时除以2n方可解决

三．总结：

形如an+1=pan +f(n)此类数列通项公式的求法，可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决。四．练习：

1、设数列{an}中，a1=1, an+1=2an+3, 求an的通项公式。

2、设数列{an}中，a1=1, an+1=3an+2n+1, 求an的通项公式。

3（2009全国卷Ⅱ理）设数列的前项和为sn ,已知a1=1, sn+1=4an +2（I）设bn=an+1 –2an，证明数列{bn}是等比数列（II）求数列的通项公式。

【课后反思】

递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决。等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。

因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。求递推数列通项公式的方法策略是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、换元法等等。只要仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。

一、学情分析和教法设计：

1、学情分析：

学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节专题探究课，将会根据递推公式求出数列的项，并能运用累加、累乘、化归等方法求数列的通项公式，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。

2、教法设计：

本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以问题情景为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题及变式中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。

在教学过程中采取如下方法：

①诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性； ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性； ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

二、教学设计：

1、教材的地位与作用：

递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。对数列的递推公式的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考常新的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。因此，研究由递推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。

2、教学重点、难点：

教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。教学难点：解题过程中方法的正确选择。

3、教学目标：(1)知识与技能：

会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、化归等方法求数列的通项公式。(2)过程与方法：

①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力；

②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。(3)情感、态度与价值观：

①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；

②通过对数列递推公式和数列求和问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；

③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。

三、教学过程：

（1）复习数列的递推公式、等差和等比数列的递推公式，并解决问题。（2）课堂小结（3）作业布置

已知：a1a0,an1kanb,(k0)(1)k,b在何种条件下，数列an分别成等差数列，等比数列。(2)若数列a,又非等比数列且ab n既非等差数列，k10, 如何求an的通项公式。(3)利用(2)的方法分别求出以下数列an的通项公式， ①若a11,2an13an2.②若a11,an2an13anan1.三、课后反思：

递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决。等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。

因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。求递推数列通项公式的方法策略是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、换元法等等。只要仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。

数列知识的应用的教学设计 16

篇1：数列的实际应用教案

数列实际应用举例

教学目标：

（1）知识与技能：

初步掌握利用数列的基础知识来解决实际问题的方法。

（2）过程与方法：

经历数列实际问题的解决过程，发展学生的思维，领悟解决数列实际问题

（3）情感、态度与价值观：

通过情境创设，活动参与，体会数列在社会生活中的广泛应用，提高学习数

教学重、难点：

教学方法：启发法、讨论法、情境教学法

教学手段：多媒体、黑板

教学过程：

一、创设情境，激发兴趣

教师活动：多媒体演示：数学史小故事《棋盘上的麦粒》

古印度舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相达依尔。

国王觉得这个要求太容易满足了，就命令给她这些麦粒。

?264?1人们推算发现当时全国所有的麦粒加在一起的总和也没有这么多！?***709551615(粒)板书课题：数列实际应用举例

学生活动：1.观看媒体演示，倾听老师完整的叙述故事

2.观察数列，找到该等比数列的首项、公比，并会利用公式计算

二、互动交流，问题探究

探究一：数列在生活中的应用

我校机电专业近期计划购进一批新型的制冷压缩机，总价值20万元，以分

第一种：首付款15500元，从第二年起每年比前一年多付1000元；

教师活动：问题1：此种付款方式我们需要几年能够还清贷款？

3：分组讨论应用题的解题方法，利用等差数列求和公式来进行

解：设需要n年能够还清贷款，根据题意可知，该工程部每年所还贷款额

整理得：n2?30n?400?0 解得：n1??40（舍）n2?10

第二种：首付款2万元，从第二年起还款数额每年比上一年增加20% 教师活动：问题2：此种付款方式五年内机电专业总计还款多少万元？

（参考数据：1.25?2.488）

3:分组讨论应用题的解题方法，利用等差数列求和公式来进行求

解：由题意，五年内机电专业每年的付款额依次为（单位：万元）2，2(1?20%)，2(1?20%)2，2(1?20%)3，2(1?20%)4.它们构成等比数列，首项为a1?2公比为q?1?20%?1.2，项数n?5，因此，所2?(1?1.25)?14.88 求总利润为s5?1?1.2

教师活动： 数学应用题解题一般步骤？(强调总结)学生活动： 思考并回答，与老师共同完成数学应用题解题一般步骤： 第一步：审题；第二步：将实际问题转化为数学问题；

第三步：求出数学问题的解；

第四步：检验

题目引申：分期付款在现代经济生活中非常常见，在贷款买车和买房的应用也

非常广泛，掌握好数列知识是必要的，当然实际问题会更加复杂

探究二：数列在数学中的应用

自然数按规律排成了如下面的三角形数阵 1 23 4 56 7 8 910 1112131415 ? ?? ?? ?? ?? 问题3：（1）第6行左起第2个数是多少？

（2）第10行左起第3个数是多少？

(由学生思考、分析，并解决实际问题；充分发挥学生课堂上的主体性，充

分相信学生，充分调动学生，寻找、探究该三角形数阵所蕴藏的规律，开放性

习题，学生可以有多种解法，自己去发现、寻找数学的乐趣)题目引申：

这是一道非常容易找到规律的数阵问题，那么在现实生活中有很多事物的规

律并不是这么的明显，那么就需要我们细心观察、留意进而善于找到、善于发

三、习题演练，巩固新知

1.某林场计划今年造林50亩，以后每年比上一年多造林15亩，问从今年起10 年内该林场共造林多少亩？

2.某城区今年完成危房改造工程20万平方米，以后计划每年比前一年多完成8%，问从今年起的5年内，该城区可完成多少万平方米的危房改造程？

学生活动：学生独立思考，分析并解决问题

四、总结提炼，升华认识

请同学们回顾一下通过本节课的学习，你有哪些收获？

1.回顾了所学过的等差数列与等比数列的相关知识；

五、课后作业：(学生课后根据自己情况完成作业)1．学案上习题演练1、2； 2．活动作业：

请到当地银行调查居民定期存款利率，按你调查的利率计算下面问题：假设一

年期的存款利率6年内不变，将1万元现金存入银行，一年后连本带利取出，再将取出的本利和一起继续转存一年后再连本带利取出，依次类推，这样下去，问5年后取出的本利和是多少？

六、板书设计

课题：数列综合应用举例

应用题解题一般步骤 问题1： 问题2：

解：（详细）解：（略写）

审题

转化

求解 →检验

篇2：人教a版必修5高三年级复习“数列的实际应用”教学设计

人教a版必修5高三年级复习“数列的实际应用”教学设计

三溪中学数学组 林爱武

一、内容和内容解析

必修5第二章《数列》这章中通过资产折旧、购房贷款、出租车计费、校校通等问题注重了数列知识在解决实际问题中的应用，体现了数列的应用性。高三第一轮复习时，本节的教学内容是继续深化应用数列知识建立数学模型解决实际生活中的问题。以往数列的内容比较注重数列中各量之间关系的恒等变形。本模块中，对数列内容的处理突出了函数思想、数学模型思想以及离散与连续的关系。数列是一种离散函数，它是一种重要数学模型。

普通高中《数学课程标准》要求在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系，但训练要控制难度和复杂程度。这体现了新《课标》在内容处理上的一个原则：删减烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容。

二、目标和目标解析

三、教学问题诊断分析

明确。这里需要引导学生仔细阅读，认真审题，找到现实问题与数学知识点之间的联系，找出量与量之间的关系，进行合理的转化与化归。

四、教学支持条件分析 本节的教学应在复习了等差、等比数列，数列的求和及应用之后进行的。本节教学过程涉及到大量的实际问题，有些问题的篇幅较长。为了有效地利用课堂教学时间，给学生充分的思考时间，提高高三复习效率。课前就先将这些问题打印成一张练习纸（如附件一），提前分发给每一位学生，以便学生利用课余时间完成其中的“课前热身”练习。此外，理想的教学应该是在现代信息技术的支持下完成的。教学之前，将这些实际问题、建模的一般步骤及涉及到的数列的知识点做成幻灯片。

五、教学过程设计

（一）复习引入，构建知识点

教师：现实生活中银行利率、资产折旧、购房贷款、出租车计费、产品利润、人口增长等实际问题，通常用数列知识加以解决。1、常见数列模型：

（1）.复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和为；y=a(1+r)n（2）产值模型：

原来产值的基础数为n,平均增长率为p,对于时间n的总产值为 ；y=n(1+p)n（3）.单利公式：

2、建立数学模型的一般方法步骤：（1）（2）（3）（4）.（1）审题（2）建模（3）求模（4）还原评价

3、课前热身练习(见附件一)评讲

（二）、共同探究，整合知识点 1.等差数列模型

学生根据等差数列的定义，判断{an}是等差数列，并用等差数列求和公式解决此

2.等比数列模型

例2.某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：

（1）该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？

（2）到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 1/3？

问题1：从2009年投入128辆电力型公交车起，2010年，2011年等分别投入多少辆电力型公交车？可用什么符号表示每年投入车的数量？

问题2：从2009年投入电力型公交车起到第n年总投入的电力型公交车数量是多少？和该市公交车总量的 1/3有什么关系？

师生活动：引导学生将每年投入的电力型公交车数量用an(n=1,2, „)表示，由

等比数列的定义知{an}是等比数列，建立等比数列模型，再由等比数列求和公式

3.等差、等比数列综合问题模型

例3.在一次人才招聘上，有a，b两家公司分别开出他们的工资标准：a公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元； b公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年月工资基础上递增5%，设某人年初被a，b两家公司同时录取，试问：

（1）若该人分别在a公司或b公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？

（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不记其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？

问题1：a公司，b公司每年月工资分别成什么数列？如何用数学符号表示？ 问题2：如何计算10年的工资收入总量？两家公司的工资收入总量有什么关系？ 师生活动：经过例1，例2的学习，学生可以将a公司每年的月工资用首项为1500，公差为230的等差数列{an}表示，将b公司每年的月工资用首项为2000，公比

4.递推数列模型

（1）求an的表达式；

（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于7/9a, 如果b=19/72a,那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需经过几年？

问题1：分别写出第1年后，第2年后，第3年后的木材存量a1，a2，a3，观察有什么规律？并猜想an与an-1之间有何关系？如何求出an? 问题2：如何将（2）转化为数学问题？用什么数学式子表示该问题？ 师生活动：学生仔细阅读，认真审题，找到现实问题与数学知识点之间的联系，找出量与量之间的关系an=1.25*an-1-b，引导学生通过建立递推关系式，构

设计意图：培养学生归纳、猜想能力和转化与化归能力，同时培养学生学会构造数列递推关系模型，解决实际问题。

（三）、课堂练习，熟练知识点

练习：某下岗职工准备开办一个商店，要向银行贷款若干，这笔贷款按复利计算(即本年利息计入下一年的本金生息)，利率为q(0＜q＜1).据他估算，贷款后每年可偿还a元，30年后还清。（1）求贷款金额；

（2）若贷款后前7年暂不偿还，从第8年开始，每年偿还a元，仍然在贷款后30年还清，试问：这样一来，贷款金额比原贷款金额要少多少元？ 设计意图：拓宽学生的知识面，培养学生热爱生活，形成用数学的意识。从数学角度看，本例是解决与数列有关的应用问题。必须认真审题，弄清题意，解决问题的关键在于理解复利的概念及其运算。

《数列求和》教学设计 17

《数列求和》教学设计

一、教学目标：

1、知识与技能

让学生掌握数列求和的几种常用方法，能熟练运用这些方法解决问题。

2、过程与方法

培养学生分析解决问题的能力，归纳总结能力，联想、转化、化归能力，探究创新能力。

3、情感，态度，价值观

通过教学，让学生认识到事物是普遍联系，发展变化的。

二、教学重点：

非等差，等比数列的求和方法的正确选择

三、教学难点：

非等差，等比数列的求和如何化归为等差，等比数列的求和

四、教学过程：

求数列的前n项和Sn基本方法：

1.直接由等差、等比数列的求和公式求和，等比数列求和时注意分q=

1、q≠1的讨论； 2.分组求和法：把数列的每一项分成几项，使转化为几个等差、等比数列，再求和； 3.裂项相消法：把数列的通项拆成几项之差，使在求和时能出现隔项相消(正负相消),剩下（首尾）若干项求和。如：

设计意图：

让学生回顾旧知，由此导入新课。

[教师过渡]：今天我们学习《数列求和》第一课时，课标要求和学习内容如下：(多媒体课件展示)导入新课：

[情境创设](课件展示): 例1：求数列 112,214,318,,101210,,n1n,2的前n项和。

[问题生成]：请同学们观察否是等差数列或等比数列？

设问：既然不是等差数列，也不是等比数列，那么就不能直接用等差，等比数列的求和公式，请同学们仔细观察一下此数列有何特征

111111，3，5，7，9，的前项和。2481632n 练习1.求数列

22n-1 练习2.求数列1，1+2，1+2+2，···，1+2+2+···+2，···.的前n项和。

例2：求数列1111，…的前n项和。，,......122334n(n1)[教师过渡]：对于通项形如an裂项相消求和方法

练习3.求和

练习4..求和sn1（其中数列bn为等差数列）求和时，我们采取

bbbn11121231nn1

[特别警示] 利用裂项相消求和方法时，抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，才能使裂开的两项差与原通项公式相同。

五、方法总结：

公式求和：对于等差数列和等比数列a的前n项和可直接用求和公式。分组求和：利用转化的思想，将数列拆分、重组转化为等差或等比数列求和。裂项相消：对于通项型如an1（其中数列bn为等差数列）的数列，在求和时

bbbn1将每项分裂成两项之差的形式，一般除首末两项或附近几项外，其余各项先后抵消，可较易求出前n项和。

六、作业布置：

数列教案 18

数列是高中数学学科知识结构体系的重要内容和构建体“分枝”，通过对数列章节内涵中等差数列、等比数列等相关知识点的分析和研究，可见，数列章节知识内容是刻画离散现象的数学模型，在我们的日常现实生活中有着广泛的应用，如存款利息的计算、购置房屋贷款的计算、工厂生产机器的折旧等问题，都与数列章节内容关系密切。数列问题在其表现形式以其多变的形式和解题方法上的灵活多样的特性，成为高中数学问题案例的经典问题。

一、利用数列章节的直观特性，培养学生数形结合的解题思想

数列章节知识内涵丰富、生动、形象，能够通过深刻、直观的函数图象进行有效展示。在数列问题解答中，图象在数列问题案例的解答过程中，有着具体而又广泛的运用。等差数列、等比数列等问题案例分析、解答过程中，很多时候都要借助于函数图象的背景进行研究分析。

二、利用数列章节的推导特性，培养学生归纳的解题思想

如，在数列的通项公式、等差数列、等比数列的概念以及前n项和公式的得出和推导过程中，通过对相关内容要义的观察、猜想、发现、归纳、概括、总结等归纳和体验的学习过程，都强调了归纳思想的具体应用。因此，教师可以利用数列问题在此方面的特性，设计如求等比数列、等差数列的通项公式方面问题，引导学生分析问题案例，归纳问题解法，提炼问题策略，提升学生的归纳解题思想。

问题：已知有四个正数，且他们之间成等比数列，现在知道他们之间的积是16，且中间相邻两个正数的和为5，求这四个数及公比。

三、利用数列章节的严密特性，培养学生分类讨论的解题思想

在实际问题解答过程中，通过问题分析、研究活动，在探寻符合问题解题要求的条件过程中，符合要求的条件不止一个，两个，这时就需要通过分别研究、分析的方略，对符合条件的内容进行全面客观的分析，甄选出最为确切的问题条件，从而进行问题有效解答活动。在数列章节教学中，教师可以设置具有此方面特点的问题，引导学生进行分类讨论活动，从而逐步树立分类讨论思想，实现思维活动严密性和全面性。

四、利用数列章节的函数和方程特性，培养学生函数和方程的解题思想

数列实际上是特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，学生在进行问题解答过程中，由已知条件或数列的性质内容，通过列方程的形式，所求出的量的过程，其中就蕴含了函数与方程的解题思想。

问题：若数列{an}是等差数列，a15=8，a60=20，求数列a75的值。

分析：这一问题案例解答时，可以采用先由a15=a1+14d=8，a60=a1+59d=20，列出方程组，求出a1和d的值，然后再求出a75的值，或者可以根据性质：{an}为等差数列，a15，a30，a45，a60，a75这四个数之间成等差数列，利用等差数列的相关性质进行解答活动。解题过程略。

解题策略：在等差数列问题案例的解答中，项数成等差的项仍为等差数列，可以通过采用列方程的形式进行解答，或应用通项公式的变形公式an=am+（n-m）d求解。

数列教案 19

1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题。

（1）正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念；

（2）正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项；

（3）通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题。

2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质。

3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度。

教学建议

教材分析

（1）知识结构

等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用。

（2）重点、难点分析

教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用。

①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点。

②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉；在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力；第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点。

③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点。

教学建议

（1）建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用。

（2）等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义。也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义。

（3）根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解。

（4）对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法。启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象。

（5）由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现。

（6）可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用。

教学设计示例

课题：等比数列的概念

教学目标

1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式。

2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力。

3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度。

教学重点，难点

重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导。

教学用具

投影仪，多媒体软件，电脑。

教学方法

讨论、谈话法。

教学过程

一、提出问题

给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准。（幻灯片）

①－2，1，4，7，10，13，16，19，…

②8，16，32，64，128，256，…

③1，1，1，1，1，1，1，…

④243，81，27，9，3，1，，，…

⑤31，29，27，25，23，21，19，…

⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…

⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…

⑧0，0，0，0，0，0，0，…

由学生发表意见（可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类），统一一种分法，其中②③④� 假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——等比数列。（这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步）

等比数列（板书）

1.等比数列的定义（板书）

根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系，尝试给等比数列下定义。学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的。教师写出等比数列的定义，标注出重点词语。

请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是等比数列。学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例。而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列，让学生讨论后得出结论：当时，数列既是等差又是等比数列，当时，它只是等差数列，而不是等比数列。教师追问理由，引出对等比数列的认识：

2.对定义的认识（板书）

（1）等比数列的首项不为0；

（2）等比数列的每一项都不为0，即；

问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？

（3）公比不为0.

用数学式子表示等比数列的定义。

是等比数列①.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成，可让学生研究行不行，好不好；接下来再问，能否改写为是等比数列？为什么不能？

式子给出了数列第项与第项的数量关系，但能否确定一个等比数列？（不能）确定一个等比数列需要几个条件？当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值？所以要研究通项公式。

3.等比数列的通项公式（板书）

问题：用和表示第项。

①不完全归纳法

.

②叠乘法

，…，，这个式子相乘得，所以。

（板书）（1）等比数列的通项公式

得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式。

（板书）（2）对公式的认识

由学生来说，最后归结：

①函数观点；

②方程思想（因在等差数列中已有认识，此处再复习巩固而已）.

这里强调方程思想解决问题。方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用，请学生举例（应能编出四类问题）.解题格式是什么？（不仅要会解题，还要注意规范表述的训练）

如果增加一个条件，就多知道了一个量，这是公式的更高层次的应用，下节课再研究。同学可以试着编几道题。

三、小结

1.本节课研究了等比数列的概念，得到了通项公式；

数列教学设计 20

§2.1.1 数列的概念与简单表示法

一、学习任务分析

1.教材的结构、内容

本节课选自人教A版必修5第二章第一节《数列的概念与简单表示法》第1课时的内容，它主要研究数列的概念、分类，以及数列的两种表示形式。

2.教材的地位、作用

本节课是在集合、映射、函数等相关知识的基础上的一节课，它将数列与集合区分开来，使学生在对比中更加明确集合的概念性质，将数列与函数联系起来，加深了学生对函数的理解；同时作为数列的起始课，它为后续等差数列、等比数列的学习作了知识储备。

教材从实际问题引入数列的概念，这样就把生活实际与数学有机地联系在一起，充分体现了数学的实用价值，让学生感受到数列产生的背景，培养了学生观察分析、抽象概括的能力。

二、教学目标

1.知识与技能

（1）理解数列及其概念，了解数列和函数之间的关系；

（2）掌握数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

2.过程与方法

通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力。

3.情感、态度与价值观

通过例举生活中的实际例子，让学生体会数学来源于生活，提高学生数学学习的兴趣。

三、教学重点和难点

1.教学重点

数列及其有关概念，数列的通项公式及其应用。

2.教学难点

根据一些数列的前几项，抽象、归纳数列的通项公式。

四、教学过程

第一部分——创设情境，导入新课

情境一：传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画

点或用小石子来表示数。比如他们研究过三角形数和正方形数（图示）：

情境二：某市在某年内的月平均气温为（单位：°C）：

8.0，9.5，9.5，12.8，20.6，25.1，30.0，32.3，29.7，17.2，10.2，8.0。

情境三：在学习英语的过程中，记忆英语单词是很重要的一个环节。小明现在有3000个英

语单词量， 问题：从以上三个情境中，我们可以得到这样的五组数据：①1，3，6,10，15，...；②1，4，9，16，25，...；③8.0，9.5，9.5，12.8，20.6，25.1，30.0，32.3，29.7，17.2，10.2，8.0；④3000，2990，2980，2970，...；⑤2000，2000，2000，2000，...。观 察这五组数据，看它们有何共同特点？

【师生活动】

学生独立思考，教师点名回答 【教师归纳】

（1）均是一列数；（2）有一定次序 【设计意图】

首先，情境的设计均源于生活，既可以帮助学生直观地理解数列的概念，又能够让学生体会数学概念形成的背景以及数学在实际生活中应用的广泛性，激发学生会的数学学习兴趣。其次，情境中的五组数据，也可作为教学中数列的分类等较为典型的例子。

第二部分——师生合作，形成概念

1.定义

数列：按照一定顺序排列着的一列数 2.定义剖析

（1）数列的数是按一定顺序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现。问题：回忆集合的相关定义、性质，将以上五个数列中的数用集合表示，观察分析集合与数

列有何区别？

【师生活动】

学生独立思考，教师点名回答 【教师归纳】

（1）集合中的元素是无序的，而数列中的数是按一定顺序排列的；

（2）集合中的元素是互异的，而数列中的数是可以重复出现的；

（3）集合中的元素不一定是数，而数列的对象一定是数。3.相关概念

（1）数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项。。各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，„，第n 项，„。（2）数列的一般形式：a1,a2,a3,...,an,...，简记为an，其中an为数列的第n项。（3）数列的分类：

①根据数列项数的多少分：有穷数列、无穷数列。

②根据数列项的大小分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。结合上述例子，帮助学生理解数列项的定义。例如，数列①中，“1”是这个数列的第1项（或首项），“15”是这个数列中的第5项；数列①②为递增数列，数列④为递减数列，数列⑤为常数列，数列③为摆动数列等等。

第三部分——例题讲解，巩固新知

例：下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？

（1）全体自然数构成数列

0，1，2，3，....（2）1996~2002年某市普通高中生人数（单位：万人）构成数列

82，93，105，119，129，130，132.（3）无穷多个3构成数列

3，3，3，....（4）目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成数列（单位：元）

100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01.（5）-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂。构成数列

-1，1，-1，1，....（6）2的精确到1，0.1，0.01，0.001，...，的不足近似值与过剩近似值分别构成数列

1，1.4，1.41，1.414，...；

2，1.5，1.42，1.415，....【设计意图】

通过几个典型的例子，加深学生对数列的理解以及数列项与项之间的关系，使学生掌握数列的分类。

第四部分——课堂小结，深化新知 【师生共同总结】

（1）数列的定义

（2）数列的项及一般表示形式（3）数列的分类