《九年级数学竞赛试题》

从今天起，我们要学会坚持!因为有了坚持，我们才会朝着目标坚定地前行;因为有了坚持，我们才会努力寻求解决困难的办法;因为有了坚持，我们才有可能把梦想变为现实。你是否有想过自己可以参加数学竞赛并且拿奖。下面就是小编为大家梳理归纳的内容，希望能够帮助到大家。

九年级数学竞赛试题

基础题

1.(2013年北京)在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4,5，从中随机摸出1个小球，其标号大于2的概率为(　　)

A.15 B.25 C.35 D.45

2.(2013年上海)将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取1张，那么取到字母e的概率为____________.

3.(2013年湖北宜昌)2012～2013NBA整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是(　　)

A.科比罚球投篮2次，一定全部命中 B.科比罚球投篮2次，不一定全部命中

C.科比罚球投篮1次，命中的可能性较大 D.科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小

4.(2013年福建福州)袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别.从袋中随机地取出1个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是(　　)

A.3个 B.不足3个 C.4个 D.5个或5个以上

5.(2013年海南益阳)有三张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这三张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________.

6.在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”四个围棋子，它们除了颜色之外没有其他区别.

(1)随机地从盒中提出一子，则提出白子的概率是多少?

(2)随机地从盒中提出一子，不放回再提第二子.请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率.

B级　中等题

7.(2013年重庆)从3,0，-1，-2，-3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=(5-m2)x和关于x的方程(m+1)x2+mx+1=0中m的值，恰好使所得函数的图象经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为________.

8.(2013年湖北襄阳)襄阳市辖区内旅游景点较多，李老师和刚初中毕业的儿子准备到古隆中、水镜庄、黄家湾三个景点去游玩.如果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站(每个景点被选为第一站的可能性相同)，那么他们都选择古隆中为第一站的概率是________.

9.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标上1,2,3,4.小明先随机地摸出1个小球，小强再随机的摸出1个小球.记小明摸出球的标号为x，小强摸出的球标号为y.小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x>y时，小明获胜，否则小强获胜.

(1)若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率;

(2)若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗?请说明理由.

10.(2012年江西)如图7?2?3，大小、质地相同，仅颜色不同的两双拖鞋(分左、右脚)共四只，放置在地板上[可表示为(A1，A2)，(B1，B2)].

(1)若先将两只左脚拖鞋中取出一只，再从两只右脚拖鞋中随机取出一只，求恰好匹配成相同颜色的一双拖鞋的概率;

(2)若从这四只拖鞋中随机地取出两

11.(2013年江西)甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物(里面的东西只有颜色不同)，将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件.

(1)下列事件是必然事件的是(　　)

A.乙抽到一件礼物 B.乙恰好抽到自己带来的礼物

C.乙没有抽到自己带来的礼物 D.只有乙抽到自己带来的礼物

证明题

例1.已知：△ABC中，∠B=2∠C，AD是高

求证：DC=AB+BD

分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD相等。

可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC=AE。

∵∠AEB=∠B=2∠C且∠AEB=∠C+∠EAC，∴∠EAC=∠C

辅助线是在DC上取DE=DB，连结AE。

分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。

仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。

为便于证明，辅助线用延长DB到F，使BF=AB，连结AF，则可得

∠ABD=2∠F=2∠C。

例2.已知：△ABC中，两条高AD和BE相交于H，两条边BC和AC的中垂线相交于O，垂足是M，N

求证：AH=2MO，　BH=2NO

证明一：(加倍法――作出OM，ON的2倍)

连结并延长CO到G使OG=CO连结AG，BG

则BG∥OM，BG=2MO，AG∥ON，AG=2NO

∴四边形AGBH是平行四边形，

∴AH=BG=2MO，BH=AG=2NO

证明二：(折半法――作出AH，BH的一半)

分别取AH，BH的中点F，G连结FG，MN

则FG=MN= AB，FG∥MN∥AB

九年级数学竞赛试题

1.设a，b，c为实数，且|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，求代数式|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|的值.

2.若m<0，n>0，|m|<|n|，且|x+m|+|x-n|=m+n，求x的取值范围.

3.设(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，试求a0+a2+a4+a6的值.

4.解方程2|x+1|+|x-3|=6.

5.解不等式||x+3|-|x-1||>2.

6.求x4-2x3+x2+2x-1除以x2+x+1的商式和余式.

7.设有一张8行、8列的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色.下面对涂了色的方格纸施行“操作”，每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色.问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸?

8.如果正整数p和p+2都是大于3的素数，求证：6|(p+1).

9.房间里凳子和椅子若干个，每个凳子有3条腿，每把椅子有4条腿，当它们全被人坐上后，共有43条腿(包括每个人的两条腿)，问房间里有几个人?

答案：

1.因为|a|=-a，所以a≤0，又因为|ab|=ab，所以b≤0，因为|c|=c，所以c≥0.所以a+b≤0，c-b≥0，a-c≤0.所以

原式=-b+(a+b)-(c-b)-(a-c)=b.

2.因为m<0，n>0，所以|m|=-m，|n|=n.所以|m|<|n|可变为m+n>0.当x+m≥0时，|x+m|=x+m;当x-n≤0时，|x-n|=n-x.故当-m≤x≤n时，

|x+m|+|x-n|=x+m-x+n=m+n.

3.分别令x=1，x=-1，代入已知等式中，得

a0+a2+a4+a6=-8128.

4.略

5.略

6.商式为x2-3x+3，余式为2x-4

7.答案是否定的.设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白色方格，其中0≤k≤8.当改变方格的颜色时，得到8-k个黑色方格及k个白色方格.因此，操作一次后，黑色方格的数目“增加了”(8-k)-k=8-2k个，即增加了一个偶数.于是无论如何操作，方格纸上黑色方格数目的奇偶性不变.所以，从原有的32个黑色方格(偶数个)，经过操作，最后总是偶数个黑色方格，不会得到恰有一个黑色方格的方格纸.

8.大于3的质数p只能具有6k+1，6k+5的形式.若p=6k+1(k≥1)，则p+2=3(2k+1)不是质数，所以，p=6k+5(k≥0).于是，p+1=6k+6，所以，6|(p+1).

9.设凳子有x只，椅子有y只，由题意得3x+4y+2(x+y)=43，

即5x+6y=43.

所以x=5，y=3是的非负整数解.从而房间里有8个人.

排列组合问题：

1.有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有()

A768种B32种C24种D2的10次方中

解：

根据乘法原理，分两步：

第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1=120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5=24种。

第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2×2×2×2×2=32种

综合两步，就有24×32=768种。

2若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有()

A119种B36种C59种D48种

解：

5全排列5_4_3_2_1=120

有两个l所以120/2=60

原来有一种正确的所以60-1=59

九年级数学竞赛试题

一.选择题

1.﹣22=()

A.﹣2B.﹣4C.2D.4

【分析】根据幂的乘方的运算法则求解.

【解答】解：﹣22=﹣4，

故选B.

【点评】本题考查了幂的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则.

2.太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，数据150000000用科学记数法表示为()

A.1.5×108B.1.5×109C.0.15×109D.15×107

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数;当原数的绝对值<1时，n是负数.

【解答】解：将150000000用科学记数法表示为：1.5×108.

故选A.

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则()

A.B.C.D.

【分析】根据题意得出△ADE∽△ABC，进而利用已知得出对应边的比值.

【解答】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∵BD=2AD，

∴===，

则=，

∴A，C，D选项错误，B选项正确，

故选：B.

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出对应边的比是解题关键.

4.|1+|+|1﹣|=()

A.1B.C.2D.2

【分析】根据绝对值的性质，可得答案.

【解答】解：原式1++﹣1=2，

故选：D.

【点评】本题考查了实数的性质，利用差的绝对值是大数减小数是解题关键.

5.设x，y，c是实数，()

A.若x=y，则x+c=y﹣cB.若x=y，则xc=yc

C.若x=y，则D.若，则2x=3y

【分析】根据等式的性质，可得答案.

【解答】解：A、两边加不同的数，故A不符合题意;

B、两边都乘以c，故B符合题意;

C、c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意;

D、两边乘以不同的数，故D不符合题意;

故选：B.

【点评】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关.

6.若x+5>0，则()

A.x+1<0B.x﹣1<0C.<﹣1D.﹣2x<12

【分析】求出已知不等式的解集，再求出每个选项中不等式的解集，即得出选项.

【解答】解：∵x+5>0，

∴x>﹣5，

A、根据x+1<0得出x<﹣1，故本选项不符合题意;

B、根据x﹣1<0得出x<1，故本选项不符合题意;

C、根据<﹣1得出x<5，故本选项符合题意;

D、根据﹣2x<12得出x>﹣6，故本选项不符合题意;

故选C.

【点评】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键.

7.某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次.设参观人次的平均年增长率为x，则()

A.10.8(1+x)=16.8B.16.8(1﹣x)=10.8

C.10.8(1+x)2=16.8D.10.8[(1+x)+(1+x)2]=16.8

【分析】设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×(1+增长率)2=16.8万人次，根据等量关系列出方程即可.

【解答】解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：

10.8(1+x)2=16.8，

故选：C.

【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.

8.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1.把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的地面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则()

A.l1：l2=1：2，S1：S2=1：2B.l1：l2=1：4，S1：S2=1：2

C.l1：l2=1：2，S1：S2=1：4D.l1：l2=1：4，S1：S2=1：4

【分析】根据圆的周长分别计算l1，l2，再由扇形的面积公式计算S1，S2，求比值即可.

【解答】解：∵l1=2π×BC=2π，

l2=2π×AB=4π，

∴l1：l2=1：2，

∵S1=×2π×=π，

S2=×4π×=2π，

∴S1：S2=1：2，

故选A.

【点评】本题考查了圆锥的计算，主要利用了圆的周长为2πr，侧面积=lr求解是解题的关键.

9.设直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a，b，c是实数，且a<0)的图象的对称轴，()

A.若m>1，则(m﹣1)a+b>0B.若m>1，则(m﹣1)a+b<0

C.若m<1，则(m﹣1)a+b>0D.若m<1，则(m﹣1)a+b<0

【分析】根据对称轴，可得b=﹣2a，根据有理数的乘法，可得答案.

【解答】解：由对称轴，得

b=﹣2a.

(m﹣1)a+b=ma﹣a﹣2a=(m﹣3)a

当m<1时，(m﹣3)a>0，

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用对称轴得出b=﹣2a是解题关键.

10.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD=x，tan∠ACB=y，则()

A.x﹣y2=3B.2x﹣y2=9C.3x﹣y2=15D.4x﹣y2=21

【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BD=DC=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理求出即可.

【解答】解：

过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，

∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，

∴BD=DE=x，

∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，

∴==y，BQ=CQ=6，

∴AQ=6y，

∵AQ⊥BC，EM⊥BC，

∴AQ∥EM，

∵E为AC中点，

∴CM=QM=CQ=3，

∴EM=3y，

∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x，

在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=(3y)2+(9﹣x)2，

即2x﹣y2=9，

故选B.

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键

抽屉原理、奇偶性问题：

1.一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的?

解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推。

把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9(只)

答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。

2.有四种颜色的积木若干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取得完全一样?

答案为21

解：

每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.

当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:

当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.

3.某盒子内装50只球，其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球，问：最少必须从袋中取出多少只球?解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。

当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是：

6_4+10+1=35(个)

如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是：

6_5+3+1=34(个)

如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是：

6_5+2+1=33

如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是：

6_5+1+1=32

4.地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?(如果能请说明具体操作，不能则要说明理由)

不可能。

因为总数为1+9+15+31=56

56/4=14

14是一个偶数

而原来1、9、15、31都是奇数，取出1个和放入3个也都是奇数，奇数加减若干次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数(14个)

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